Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58083 / 88780
↖ ↑ ↗
← S 53.664171°
W 20.470276°		 ← 180.93 m → S 53.664171°
W 20.467530°		 →
↑
180.94 m
↓
↑
180.94 m
↓
S 53.665799°
W 20.470276°		 ← 180.93 m →
32 737 m²		 S 53.665799°
W 20.467530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443141937255859 y=0.677341461181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443141937255859 × 217)
    floor (0.443141937255859 × 131072)
    floor (58083.5)     		tx = 58083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677341461181641 × 217)
    floor (0.677341461181641 × 131072)
    floor (88780.5)     		ty = 88780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58083 / 88780 ti = "17/58083/88780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58083/88780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58083 ÷ 217
    58083 ÷ 131072     		x = 0.443138122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88780 ÷ 217
    88780 ÷ 131072     		y = 0.677337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443138122558594 × 2 - 1) × π
    -0.113723754882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35727371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.35467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11424529476859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35727371} λ = -0.35727371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11424529476859))-π/2
    2×atan(0.328162851686523)-π/2
    2×0.317089925298526-π/2
    0.634179850597051-1.57079632675     		φ = -0.93661648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35727371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.470276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93661648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.664171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58083 KachelY 88780 -0.35727371 -0.93661648 -20.470276 -53.664171
    Oben rechts KachelX + 1 58084 KachelY 88780 -0.35722578 -0.93661648 -20.467530 -53.664171
    Unten links KachelX 58083 KachelY + 1 88781 -0.35727371 -0.93664488 -20.470276 -53.665799
    Unten rechts KachelX + 1 58084 KachelY + 1 88781 -0.35722578 -0.93664488 -20.467530 -53.665799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93661648--0.93664488) × R
    2.84000000000395e-05 × 6371000     		dl = 180.936400000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93661648--0.93664488) × R
    2.84000000000395e-05 × 6371000     		dr = 180.936400000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35727371--0.35722578) × cos(-0.93661648) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59251703279684 × 6371000     		do = 180.93220394453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35727371--0.35722578) × cos(-0.93664488) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.592494154712905 × 6371000     		du = 180.925217846377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93661648)-sin(-0.93664488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59251703279684-0.592494154712905)×R²
    abs(-0.35722578--0.35727371)×2.2878083934641e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2878083934641e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2878083934641e-05×40589641000000     		ar = 32736.5896084477m²