Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58083 / 88562
↖ ↑ ↗
← S 53.307903°
W 20.470276°		 ← 182.46 m → S 53.307903°
W 20.467530°		 →
↑
182.47 m
↓
↑
182.47 m
↓
S 53.309544°
W 20.470276°		 ← 182.45 m →
33 292 m²		 S 53.309544°
W 20.467530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443141937255859 y=0.675678253173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443141937255859 × 217)
    floor (0.443141937255859 × 131072)
    floor (58083.5)     		tx = 58083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675678253173828 × 217)
    floor (0.675678253173828 × 131072)
    floor (88562.5)     		ty = 88562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58083 / 88562 ti = "17/58083/88562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58083/88562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58083 ÷ 217
    58083 ÷ 131072     		x = 0.443138122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88562 ÷ 217
    88562 ÷ 131072     		y = 0.675674438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443138122558594 × 2 - 1) × π
    -0.113723754882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35727371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675674438476562 × 2 - 1) × π
    -0.351348876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10379505065141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35727371} λ = -0.35727371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10379505065141))-π/2
    2×atan(0.331610215118412)-π/2
    2×0.320198947166924-π/2
    0.640397894333847-1.57079632675     		φ = -0.93039843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35727371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.470276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93039843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.307903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58083 KachelY 88562 -0.35727371 -0.93039843 -20.470276 -53.307903
    Oben rechts KachelX + 1 58084 KachelY 88562 -0.35722578 -0.93039843 -20.467530 -53.307903
    Unten links KachelX 58083 KachelY + 1 88563 -0.35727371 -0.93042707 -20.470276 -53.309544
    Unten rechts KachelX + 1 58084 KachelY + 1 88563 -0.35722578 -0.93042707 -20.467530 -53.309544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93039843--0.93042707) × R
    2.86400000000242e-05 × 6371000     		dl = 182.465440000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93039843--0.93042707) × R
    2.86400000000242e-05 × 6371000     		dr = 182.465440000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35727371--0.35722578) × cos(-0.93039843) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.597514545410687 × 6371000     		do = 182.458254541246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35727371--0.35722578) × cos(-0.93042707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.597491579950446 × 6371000     		du = 182.451241761687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93039843)-sin(-0.93042707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597514545410687-0.597491579950446)×R²
    abs(-0.35722578--0.35727371)×2.29654602414975e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29654602414975e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29654602414975e-05×40589641000000     		ar = 33291.6859037375m²