Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58080 / 90591
↖ ↑ ↗
← S 56.509502°
W 20.478515°		 ← 168.50 m → S 56.509502°
W 20.475769°		 →
↑
168.51 m
↓
↑
168.51 m
↓
S 56.511018°
W 20.478515°		 ← 168.49 m →
28 394 m²		 S 56.511018°
W 20.475769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443119049072266 y=0.691158294677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443119049072266 × 217)
    floor (0.443119049072266 × 131072)
    floor (58080.5)     		tx = 58080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691158294677734 × 217)
    floor (0.691158294677734 × 131072)
    floor (90591.5)     		ty = 90591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58080 / 90591 ti = "17/58080/90591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58080/90591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58080 ÷ 217
    58080 ÷ 131072     		x = 0.443115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90591 ÷ 217
    90591 ÷ 131072     		y = 0.691154479980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.11376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35741752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691154479980469 × 2 - 1) × π
    -0.382308959960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.20105901998051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35741752} λ = -0.35741752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20105901998051))-π/2
    2×atan(0.300875410062334)-π/2
    2×0.292259729344865-π/2
    0.584519458689731-1.57079632675     		φ = -0.98627687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35741752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.478515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98627687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.509502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58080 KachelY 90591 -0.35741752 -0.98627687 -20.478515 -56.509502
    Oben rechts KachelX + 1 58081 KachelY 90591 -0.35736959 -0.98627687 -20.475769 -56.509502
    Unten links KachelX 58080 KachelY + 1 90592 -0.35741752 -0.98630332 -20.478515 -56.511018
    Unten rechts KachelX + 1 58081 KachelY + 1 90592 -0.35736959 -0.98630332 -20.475769 -56.511018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98627687--0.98630332) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dl = 168.512950000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98627687--0.98630332) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dr = 168.512950000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35741752--0.35736959) × cos(-0.98627687) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.551798683910333 × 6371000     		do = 168.498366270095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35741752--0.35736959) × cos(-0.98630332) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.551776625016533 × 6371000     		du = 168.491630321505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98627687)-sin(-0.98630332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551798683910333-0.551776625016533)×R²
    abs(-0.35736959--0.35741752)×2.20588937999144e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20588937999144e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20588937999144e-05×40589641000000     		ar = 28393.5892247891m²