Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58078 / 89249
↖ ↑ ↗
← S 54.420528°
W 20.484009°		 ← 177.71 m → S 54.420528°
W 20.481262°		 →
↑
177.69 m
↓
↑
177.69 m
↓
S 54.422126°
W 20.484009°		 ← 177.70 m →
31 576 m²		 S 54.422126°
W 20.481262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443103790283203 y=0.680919647216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443103790283203 × 217)
    floor (0.443103790283203 × 131072)
    floor (58078.5)     		tx = 58078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680919647216797 × 217)
    floor (0.680919647216797 × 131072)
    floor (89249.5)     		ty = 89249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58078 / 89249 ti = "17/58078/89249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58078/89249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58078 ÷ 217
    58078 ÷ 131072     		x = 0.443099975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89249 ÷ 217
    89249 ÷ 131072     		y = 0.680915832519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443099975585938 × 2 - 1) × π
    -0.113800048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35751340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680915832519531 × 2 - 1) × π
    -0.361831665039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.13672770069039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35751340} λ = -0.35751340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13672770069039))-π/2
    2×atan(0.320867279551735)-π/2
    2×0.310489465850571-π/2
    0.620978931701142-1.57079632675     		φ = -0.94981740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35751340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.484009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94981740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.420528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58078 KachelY 89249 -0.35751340 -0.94981740 -20.484009 -54.420528
    Oben rechts KachelX + 1 58079 KachelY 89249 -0.35746546 -0.94981740 -20.481262 -54.420528
    Unten links KachelX 58078 KachelY + 1 89250 -0.35751340 -0.94984529 -20.484009 -54.422126
    Unten rechts KachelX + 1 58079 KachelY + 1 89250 -0.35746546 -0.94984529 -20.481262 -54.422126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94981740--0.94984529) × R
    2.78899999999194e-05 × 6371000     		dl = 177.687189999486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94981740--0.94984529) × R
    2.78899999999194e-05 × 6371000     		dr = 177.687189999486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35751340--0.35746546) × cos(-0.94981740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.581831609436773 × 6371000     		do = 177.706349867501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35751340--0.35746546) × cos(-0.94984529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.581808926014782 × 6371000     		du = 177.699421766553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94981740)-sin(-0.94984529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581831609436773-0.581808926014782)×R²
    abs(-0.35746546--0.35751340)×2.26834219911876e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26834219911876e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26834219911876e-05×40589641000000     		ar = 31575.5264374736m²