Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58072 / 89905
↖ ↑ ↗
← S 55.455499°
W 20.500488°		 ← 173.19 m → S 55.455499°
W 20.497742°		 →
↑
173.16 m
↓
↑
173.16 m
↓
S 55.457056°
W 20.500488°		 ← 173.18 m →
29 990 m²		 S 55.457056°
W 20.497742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443058013916016 y=0.685924530029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443058013916016 × 217)
    floor (0.443058013916016 × 131072)
    floor (58072.5)     		tx = 58072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685924530029297 × 217)
    floor (0.685924530029297 × 131072)
    floor (89905.5)     		ty = 89905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58072 / 89905 ti = "17/58072/89905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58072/89905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58072 ÷ 217
    58072 ÷ 131072     		x = 0.44305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89905 ÷ 217
    89905 ÷ 131072     		y = 0.685920715332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.1138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35780102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685920715332031 × 2 - 1) × π
    -0.371841430664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.16817430684115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35780102} λ = -0.35780102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16817430684115))-π/2
    2×atan(0.310934093632451)-π/2
    2×0.301457642218011-π/2
    0.602915284436022-1.57079632675     		φ = -0.96788104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35780102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.500488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96788104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.455499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58072 KachelY 89905 -0.35780102 -0.96788104 -20.500488 -55.455499
    Oben rechts KachelX + 1 58073 KachelY 89905 -0.35775308 -0.96788104 -20.497742 -55.455499
    Unten links KachelX 58072 KachelY + 1 89906 -0.35780102 -0.96790822 -20.500488 -55.457056
    Unten rechts KachelX + 1 58073 KachelY + 1 89906 -0.35775308 -0.96790822 -20.497742 -55.457056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96788104--0.96790822) × R
    2.71800000000155e-05 × 6371000     		dl = 173.163780000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96788104--0.96790822) × R
    2.71800000000155e-05 × 6371000     		dr = 173.163780000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35780102--0.35775308) × cos(-0.96788104) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.567046160588916 × 6371000     		do = 173.190493212116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35780102--0.35775308) × cos(-0.96790822) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.56702377259357 × 6371000     		du = 173.18365534207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96788104)-sin(-0.96790822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567046160588916-0.56702377259357)×R²
    abs(-0.35775308--0.35780102)×2.23879953458184e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23879953458184e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23879953458184e-05×40589641000000     		ar = 29989.728430813m²