Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58068 / 89828
↖ ↑ ↗
← S 55.335394°
W 20.511475°		 ← 173.72 m → S 55.335394°
W 20.508728°		 →
↑
173.74 m
↓
↑
173.74 m
↓
S 55.336956°
W 20.511475°		 ← 173.71 m →
30 181 m²		 S 55.336956°
W 20.508728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443027496337891 y=0.685337066650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443027496337891 × 217)
    floor (0.443027496337891 × 131072)
    floor (58068.5)     		tx = 58068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685337066650391 × 217)
    floor (0.685337066650391 × 131072)
    floor (89828.5)     		ty = 89828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58068 / 89828 ti = "17/58068/89828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58068/89828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58068 ÷ 217
    58068 ÷ 131072     		x = 0.443023681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89828 ÷ 217
    89828 ÷ 131072     		y = 0.685333251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443023681640625 × 2 - 1) × π
    -0.11395263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35799277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685333251953125 × 2 - 1) × π
    -0.37066650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1644831655704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35799277} λ = -0.35799277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1644831655704))-π/2
    2×atan(0.312083916070986)-π/2
    2×0.302505757698554-π/2
    0.605011515397109-1.57079632675     		φ = -0.96578481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35799277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.511475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96578481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.335394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58068 KachelY 89828 -0.35799277 -0.96578481 -20.511475 -55.335394
    Oben rechts KachelX + 1 58069 KachelY 89828 -0.35794483 -0.96578481 -20.508728 -55.335394
    Unten links KachelX 58068 KachelY + 1 89829 -0.35799277 -0.96581208 -20.511475 -55.336956
    Unten rechts KachelX + 1 58069 KachelY + 1 89829 -0.35794483 -0.96581208 -20.508728 -55.336956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96578481--0.96581208) × R
    2.72699999999126e-05 × 6371000     		dl = 173.737169999443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96578481--0.96581208) × R
    2.72699999999126e-05 × 6371000     		dr = 173.737169999443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35799277--0.35794483) × cos(-0.96578481) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568771548809141 × 6371000     		do = 173.717471186065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35799277--0.35794483) × cos(-0.96581208) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568749119144086 × 6371000     		du = 173.710620589018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96578481)-sin(-0.96581208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568771548809141-0.568749119144086)×R²
    abs(-0.35794483--0.35799277)×2.24296650552791e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24296650552791e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24296650552791e-05×40589641000000     		ar = 30180.5867235108m²