Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58068 / 88617
↖ ↑ ↗
← S 53.398070°
W 20.511475°		 ← 182.11 m → S 53.398070°
W 20.508728°		 →
↑
182.08 m
↓
↑
182.08 m
↓
S 53.399707°
W 20.511475°		 ← 182.10 m →
33 159 m²		 S 53.399707°
W 20.508728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443027496337891 y=0.676097869873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443027496337891 × 217)
    floor (0.443027496337891 × 131072)
    floor (58068.5)     		tx = 58068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676097869873047 × 217)
    floor (0.676097869873047 × 131072)
    floor (88617.5)     		ty = 88617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58068 / 88617 ti = "17/58068/88617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58068/88617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58068 ÷ 217
    58068 ÷ 131072     		x = 0.443023681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88617 ÷ 217
    88617 ÷ 131072     		y = 0.676094055175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443023681640625 × 2 - 1) × π
    -0.11395263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35799277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676094055175781 × 2 - 1) × π
    -0.352188110351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.10643158013052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35799277} λ = -0.35799277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10643158013052))-π/2
    2×atan(0.330737066557433)-π/2
    2×0.319412097179914-π/2
    0.638824194359827-1.57079632675     		φ = -0.93197213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35799277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.511475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93197213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.398070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58068 KachelY 88617 -0.35799277 -0.93197213 -20.511475 -53.398070
    Oben rechts KachelX + 1 58069 KachelY 88617 -0.35794483 -0.93197213 -20.508728 -53.398070
    Unten links KachelX 58068 KachelY + 1 88618 -0.35799277 -0.93200071 -20.511475 -53.399707
    Unten rechts KachelX + 1 58069 KachelY + 1 88618 -0.35794483 -0.93200071 -20.508728 -53.399707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93197213--0.93200071) × R
    2.85799999999448e-05 × 6371000     		dl = 182.083179999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93197213--0.93200071) × R
    2.85799999999448e-05 × 6371000     		dr = 182.083179999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35799277--0.35794483) × cos(-0.93197213) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596251922001546 × 6371000     		do = 182.110684503836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35799277--0.35794483) × cos(-0.93200071) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596228977808697 × 6371000     		du = 182.103676756756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93197213)-sin(-0.93200071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596251922001546-0.596228977808697)×R²
    abs(-0.35794483--0.35799277)×2.29441928482066e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29441928482066e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29441928482066e-05×40589641000000     		ar = 33158.6545522044m²