Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58064 / 89410
↖ ↑ ↗
← S 54.677007°
W 20.522461°		 ← 176.56 m → S 54.677007°
W 20.519715°		 →
↑
176.60 m
↓
↑
176.60 m
↓
S 54.678595°
W 20.522461°		 ← 176.55 m →
31 180 m²		 S 54.678595°
W 20.519715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442996978759766 y=0.682147979736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442996978759766 × 217)
    floor (0.442996978759766 × 131072)
    floor (58064.5)     		tx = 58064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682147979736328 × 217)
    floor (0.682147979736328 × 131072)
    floor (89410.5)     		ty = 89410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58064 / 89410 ti = "17/58064/89410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58064/89410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58064 ÷ 217
    58064 ÷ 131072     		x = 0.4429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89410 ÷ 217
    89410 ÷ 131072     		y = 0.682144165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.114013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35818451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682144165039062 × 2 - 1) × π
    -0.364288330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14444554152922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35818451} λ = -0.35818451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14444554152922))-π/2
    2×atan(0.31840040866115)-π/2
    2×0.308251263404842-π/2
    0.616502526809685-1.57079632675     		φ = -0.95429380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35818451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.522461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95429380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.677007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58064 KachelY 89410 -0.35818451 -0.95429380 -20.522461 -54.677007
    Oben rechts KachelX + 1 58065 KachelY 89410 -0.35813658 -0.95429380 -20.519715 -54.677007
    Unten links KachelX 58064 KachelY + 1 89411 -0.35818451 -0.95432152 -20.522461 -54.678595
    Unten rechts KachelX + 1 58065 KachelY + 1 89411 -0.35813658 -0.95432152 -20.519715 -54.678595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95429380--0.95432152) × R
    2.77200000000644e-05 × 6371000     		dl = 176.60412000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95429380--0.95432152) × R
    2.77200000000644e-05 × 6371000     		dr = 176.60412000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35818451--0.35813658) × cos(-0.95429380) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578185094546124 × 6371000     		do = 176.555774186454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35818451--0.35813658) × cos(-0.95432152) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578162477419936 × 6371000     		du = 176.548867774889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95429380)-sin(-0.95432152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578185094546124-0.578162477419936)×R²
    abs(-0.35813658--0.35818451)×2.26171261884511e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26171261884511e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26171261884511e-05×40589641000000     		ar = 31179.867282758m²