Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58063 / 89419
↖ ↑ ↗
← S 54.691297°
W 20.525207°		 ← 176.53 m → S 54.691297°
W 20.522461°		 →
↑
176.54 m
↓
↑
176.54 m
↓
S 54.692884°
W 20.525207°		 ← 176.52 m →
31 164 m²		 S 54.692884°
W 20.522461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442989349365234 y=0.682216644287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442989349365234 × 217)
    floor (0.442989349365234 × 131072)
    floor (58063.5)     		tx = 58063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682216644287109 × 217)
    floor (0.682216644287109 × 131072)
    floor (89419.5)     		ty = 89419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58063 / 89419 ti = "17/58063/89419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58063/89419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58063 ÷ 217
    58063 ÷ 131072     		x = 0.442985534667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89419 ÷ 217
    89419 ÷ 131072     		y = 0.682212829589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442985534667969 × 2 - 1) × π
    -0.114028930664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35823245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682212829589844 × 2 - 1) × π
    -0.364425659179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.1448769736258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35823245} λ = -0.35823245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1448769736258))-π/2
    2×atan(0.318263070133544)-π/2
    2×0.308126561551662-π/2
    0.616253123103324-1.57079632675     		φ = -0.95454320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35823245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.525207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95454320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.691297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58063 KachelY 89419 -0.35823245 -0.95454320 -20.525207 -54.691297
    Oben rechts KachelX + 1 58064 KachelY 89419 -0.35818451 -0.95454320 -20.522461 -54.691297
    Unten links KachelX 58063 KachelY + 1 89420 -0.35823245 -0.95457091 -20.525207 -54.692884
    Unten rechts KachelX + 1 58064 KachelY + 1 89420 -0.35818451 -0.95457091 -20.522461 -54.692884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95454320--0.95457091) × R
    2.77100000000141e-05 × 6371000     		dl = 176.54041000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95454320--0.95457091) × R
    2.77100000000141e-05 × 6371000     		dr = 176.54041000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35823245--0.35818451) × cos(-0.95454320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577981589702546 × 6371000     		do = 176.530454741161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35823245--0.35818451) × cos(-0.95457091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577958976740591 × 6371000     		du = 176.523548160522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95454320)-sin(-0.95457091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577981589702546-0.577958976740591)×R²
    abs(-0.35818451--0.35823245)×2.26129619548265e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26129619548265e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26129619548265e-05×40589641000000     		ar = 31164.1492141388m²