Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58062 / 89414
↖ ↑ ↗
← S 54.683359°
W 20.527954°		 ← 176.56 m → S 54.683359°
W 20.525207°		 →
↑
176.54 m
↓
↑
176.54 m
↓
S 54.684947°
W 20.527954°		 ← 176.56 m →
31 170 m²		 S 54.684947°
W 20.525207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442981719970703 y=0.682178497314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442981719970703 × 217)
    floor (0.442981719970703 × 131072)
    floor (58062.5)     		tx = 58062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682178497314453 × 217)
    floor (0.682178497314453 × 131072)
    floor (89414.5)     		ty = 89414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58062 / 89414 ti = "17/58062/89414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58062/89414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58062 ÷ 217
    58062 ÷ 131072     		x = 0.442977905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89414 ÷ 217
    89414 ÷ 131072     		y = 0.682174682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442977905273438 × 2 - 1) × π
    -0.114044189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35828039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682174682617188 × 2 - 1) × π
    -0.364349365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1446372891277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35828039} λ = -0.35828039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1446372891277))-π/2
    2×atan(0.318339362000397)-π/2
    2×0.308195834939224-π/2
    0.616391669878449-1.57079632675     		φ = -0.95440466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35828039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.527954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95440466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.683359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58062 KachelY 89414 -0.35828039 -0.95440466 -20.527954 -54.683359
    Oben rechts KachelX + 1 58063 KachelY 89414 -0.35823245 -0.95440466 -20.525207 -54.683359
    Unten links KachelX 58062 KachelY + 1 89415 -0.35828039 -0.95443237 -20.527954 -54.684947
    Unten rechts KachelX + 1 58063 KachelY + 1 89415 -0.35823245 -0.95443237 -20.525207 -54.684947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95440466--0.95443237) × R
    2.77100000000141e-05 × 6371000     		dl = 176.54041000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95440466--0.95443237) × R
    2.77100000000141e-05 × 6371000     		dr = 176.54041000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35828039--0.35823245) × cos(-0.95440466) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57809463969528 × 6371000     		do = 176.564983119053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35828039--0.35823245) × cos(-0.95443237) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.578072028952337 × 6371000     		du = 176.558077216158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95440466)-sin(-0.95443237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57809463969528-0.578072028952337)×R²
    abs(-0.35823245--0.35828039)×2.26107429426303e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26107429426303e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26107429426303e-05×40589641000000     		ar = 31170.2449281466m²