Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58061 / 89412
↖ ↑ ↗
← S 54.680183°
W 20.530700°		 ← 176.54 m → S 54.680183°
W 20.527954°		 →
↑
176.54 m
↓
↑
176.54 m
↓
S 54.681771°
W 20.530700°		 ← 176.54 m →
31 166 m²		 S 54.681771°
W 20.527954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442974090576172 y=0.682163238525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442974090576172 × 217)
    floor (0.442974090576172 × 131072)
    floor (58061.5)     		tx = 58061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682163238525391 × 217)
    floor (0.682163238525391 × 131072)
    floor (89412.5)     		ty = 89412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58061 / 89412 ti = "17/58061/89412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58061/89412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58061 ÷ 217
    58061 ÷ 131072     		x = 0.442970275878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89412 ÷ 217
    89412 ÷ 131072     		y = 0.682159423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442970275878906 × 2 - 1) × π
    -0.114059448242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35832832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682159423828125 × 2 - 1) × π
    -0.36431884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14454141532846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35832832} λ = -0.35832832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14454141532846))-π/2
    2×atan(0.31836988386758)-π/2
    2×0.308223548088032-π/2
    0.616447096176064-1.57079632675     		φ = -0.95434923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35832832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.530700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95434923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.680183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58061 KachelY 89412 -0.35832832 -0.95434923 -20.530700 -54.680183
    Oben rechts KachelX + 1 58062 KachelY 89412 -0.35828039 -0.95434923 -20.527954 -54.680183
    Unten links KachelX 58061 KachelY + 1 89413 -0.35832832 -0.95437694 -20.530700 -54.681771
    Unten rechts KachelX + 1 58062 KachelY + 1 89413 -0.35828039 -0.95437694 -20.527954 -54.681771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95434923--0.95437694) × R
    2.77099999999031e-05 × 6371000     		dl = 176.540409999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95434923--0.95437694) × R
    2.77099999999031e-05 × 6371000     		dr = 176.540409999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35832832--0.35828039) × cos(-0.95434923) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.578139868008865 × 6371000     		do = 176.541963719023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35832832--0.35828039) × cos(-0.95437694) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.578117258153873 × 6371000     		du = 176.535059527804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95434923)-sin(-0.95437694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578139868008865-0.578117258153873)×R²
    abs(-0.35828039--0.35832832)×2.26098549919174e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.26098549919174e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.26098549919174e-05×40589641000000     		ar = 31166.1812245726m²