Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58059 / 89417
↖ ↑ ↗
← S 54.688122°
W 20.536194°		 ← 176.54 m → S 54.688122°
W 20.533447°		 →
↑
176.54 m
↓
↑
176.54 m
↓
S 54.689710°
W 20.536194°		 ← 176.54 m →
31 167 m²		 S 54.689710°
W 20.533447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442958831787109 y=0.682201385498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442958831787109 × 217)
    floor (0.442958831787109 × 131072)
    floor (58059.5)     		tx = 58059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682201385498047 × 217)
    floor (0.682201385498047 × 131072)
    floor (89417.5)     		ty = 89417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58059 / 89417 ti = "17/58059/89417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58059/89417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58059 ÷ 217
    58059 ÷ 131072     		x = 0.442955017089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89417 ÷ 217
    89417 ÷ 131072     		y = 0.682197570800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442955017089844 × 2 - 1) × π
    -0.114089965820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35842420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682197570800781 × 2 - 1) × π
    -0.364395141601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.14478109982656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35842420} λ = -0.35842420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14478109982656))-π/2
    2×atan(0.318293584685985)-π/2
    2×0.308154269280833-π/2
    0.616308538561666-1.57079632675     		φ = -0.95448779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35842420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.536194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95448779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.688122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58059 KachelY 89417 -0.35842420 -0.95448779 -20.536194 -54.688122
    Oben rechts KachelX + 1 58060 KachelY 89417 -0.35837626 -0.95448779 -20.533447 -54.688122
    Unten links KachelX 58059 KachelY + 1 89418 -0.35842420 -0.95451550 -20.536194 -54.689710
    Unten rechts KachelX + 1 58060 KachelY + 1 89418 -0.35837626 -0.95451550 -20.533447 -54.689710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95448779--0.95451550) × R
    2.77100000000141e-05 × 6371000     		dl = 176.54041000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95448779--0.95451550) × R
    2.77100000000141e-05 × 6371000     		dr = 176.54041000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35842420--0.35837626) × cos(-0.95448779) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.578026806134861 × 6371000     		do = 176.544265003665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35842420--0.35837626) × cos(-0.95451550) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.578004194060363 × 6371000     		du = 176.537358694079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95448779)-sin(-0.95451550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578026806134861-0.578004194060363)×R²
    abs(-0.35837626--0.35842420)×2.26120744982738e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26120744982738e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26120744982738e-05×40589641000000     		ar = 31166.5873074495m²