Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58058 / 88570
↖ ↑ ↗
← S 53.321030°
W 20.538941°		 ← 182.44 m → S 53.321030°
W 20.536194°		 →
↑
182.40 m
↓
↑
182.40 m
↓
S 53.322671°
W 20.538941°		 ← 182.43 m →
33 277 m²		 S 53.322671°
W 20.536194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442951202392578 y=0.675739288330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442951202392578 × 217)
    floor (0.442951202392578 × 131072)
    floor (58058.5)     		tx = 58058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675739288330078 × 217)
    floor (0.675739288330078 × 131072)
    floor (88570.5)     		ty = 88570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58058 / 88570 ti = "17/58058/88570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58058/88570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58058 ÷ 217
    58058 ÷ 131072     		x = 0.442947387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88570 ÷ 217
    88570 ÷ 131072     		y = 0.675735473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442947387695312 × 2 - 1) × π
    -0.114105224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35847214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675735473632812 × 2 - 1) × π
    -0.351470947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10417854584837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35847214} λ = -0.35847214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10417854584837))-π/2
    2×atan(0.331483068575254)-π/2
    2×0.3200843928033-π/2
    0.640168785606601-1.57079632675     		φ = -0.93062754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35847214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.538941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93062754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.321030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58058 KachelY 88570 -0.35847214 -0.93062754 -20.538941 -53.321030
    Oben rechts KachelX + 1 58059 KachelY 88570 -0.35842420 -0.93062754 -20.536194 -53.321030
    Unten links KachelX 58058 KachelY + 1 88571 -0.35847214 -0.93065617 -20.538941 -53.322671
    Unten rechts KachelX + 1 58059 KachelY + 1 88571 -0.35842420 -0.93065617 -20.536194 -53.322671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93062754--0.93065617) × R
    2.8629999999974e-05 × 6371000     		dl = 182.401729999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93062754--0.93065617) × R
    2.8629999999974e-05 × 6371000     		dr = 182.401729999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35847214--0.35842420) × cos(-0.93062754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.597330816027178 × 6371000     		do = 182.440206509785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35847214--0.35842420) × cos(-0.93065617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.597307854667017 × 6371000     		du = 182.433193519367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93062754)-sin(-0.93065617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597330816027178-0.597307854667017)×R²
    abs(-0.35842420--0.35847214)×2.2961360160112e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2961360160112e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2961360160112e-05×40589641000000     		ar = 33276.7697001944m²