Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58057 / 88514
↖ ↑ ↗
← S 53.229057°
W 20.541687°		 ← 182.80 m → S 53.229057°
W 20.538941°		 →
↑
182.85 m
↓
↑
182.85 m
↓
S 53.230701°
W 20.541687°		 ← 182.79 m →
33 423 m²		 S 53.230701°
W 20.538941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442943572998047 y=0.675312042236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442943572998047 × 217)
    floor (0.442943572998047 × 131072)
    floor (58057.5)     		tx = 58057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675312042236328 × 217)
    floor (0.675312042236328 × 131072)
    floor (88514.5)     		ty = 88514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58057 / 88514 ti = "17/58057/88514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58057/88514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58057 ÷ 217
    58057 ÷ 131072     		x = 0.442939758300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88514 ÷ 217
    88514 ÷ 131072     		y = 0.675308227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442939758300781 × 2 - 1) × π
    -0.114120483398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35852007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675308227539062 × 2 - 1) × π
    -0.350616455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10149407946965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35852007} λ = -0.35852007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10149407946965))-π/2
    2×atan(0.332374119190567)-π/2
    2×0.320887013386514-π/2
    0.641774026773028-1.57079632675     		φ = -0.92902230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35852007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.541687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92902230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.229057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58057 KachelY 88514 -0.35852007 -0.92902230 -20.541687 -53.229057
    Oben rechts KachelX + 1 58058 KachelY 88514 -0.35847214 -0.92902230 -20.538941 -53.229057
    Unten links KachelX 58057 KachelY + 1 88515 -0.35852007 -0.92905100 -20.541687 -53.230701
    Unten rechts KachelX + 1 58058 KachelY + 1 88515 -0.35847214 -0.92905100 -20.538941 -53.230701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92902230--0.92905100) × R
    2.86999999999926e-05 × 6371000     		dl = 182.847699999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92902230--0.92905100) × R
    2.86999999999926e-05 × 6371000     		dr = 182.847699999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35852007--0.35847214) × cos(-0.92902230) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598617440244718 × 6371000     		do = 182.795036746643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35852007--0.35847214) × cos(-0.92905100) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598594450292089 × 6371000     		du = 182.788016488038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92902230)-sin(-0.92905100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598617440244718-0.598594450292089)×R²
    abs(-0.35847214--0.35852007)×2.2989952628949e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2989952628949e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2989952628949e-05×40589641000000     		ar = 33423.0102238851m²