Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58051 / 88506
↖ ↑ ↗
← S 53.215902°
W 20.558166°		 ← 182.85 m → S 53.215902°
W 20.555420°		 →
↑
182.85 m
↓
↑
182.85 m
↓
S 53.217546°
W 20.558166°		 ← 182.84 m →
33 433 m²		 S 53.217546°
W 20.555420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442897796630859 y=0.675251007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442897796630859 × 217)
    floor (0.442897796630859 × 131072)
    floor (58051.5)     		tx = 58051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675251007080078 × 217)
    floor (0.675251007080078 × 131072)
    floor (88506.5)     		ty = 88506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58051 / 88506 ti = "17/58051/88506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58051/88506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58051 ÷ 217
    58051 ÷ 131072     		x = 0.442893981933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88506 ÷ 217
    88506 ÷ 131072     		y = 0.675247192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442893981933594 × 2 - 1) × π
    -0.114212036132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35880769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675247192382812 × 2 - 1) × π
    -0.350494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10111058427269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35880769} λ = -0.35880769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10111058427269))-π/2
    2×atan(0.332501607512887)-π/2
    2×0.321001814474225-π/2
    0.642003628948451-1.57079632675     		φ = -0.92879270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35880769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.558166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92879270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.215902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58051 KachelY 88506 -0.35880769 -0.92879270 -20.558166 -53.215902
    Oben rechts KachelX + 1 58052 KachelY 88506 -0.35875976 -0.92879270 -20.555420 -53.215902
    Unten links KachelX 58051 KachelY + 1 88507 -0.35880769 -0.92882140 -20.558166 -53.217546
    Unten rechts KachelX + 1 58052 KachelY + 1 88507 -0.35875976 -0.92882140 -20.555420 -53.217546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92879270--0.92882140) × R
    2.86999999999926e-05 × 6371000     		dl = 182.847699999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92879270--0.92882140) × R
    2.86999999999926e-05 × 6371000     		dr = 182.847699999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35880769--0.35875976) × cos(-0.92879270) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598801342113452 × 6371000     		do = 182.8511933946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35880769--0.35875976) × cos(-0.92882140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598778356105955 × 6371000     		du = 182.844174340689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92879270)-sin(-0.92882140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598801342113452-0.598778356105955)×R²
    abs(-0.35875976--0.35880769)×2.29860074971722e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29860074971722e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29860074971722e-05×40589641000000     		ar = 33433.2784479061m²