Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58050 / 90564
↖ ↑ ↗
← S 56.468560°
W 20.560913°		 ← 168.72 m → S 56.468560°
W 20.558166°		 →
↑
168.70 m
↓
↑
168.70 m
↓
S 56.470077°
W 20.560913°		 ← 168.71 m →
28 462 m²		 S 56.470077°
W 20.558166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442890167236328 y=0.690952301025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442890167236328 × 217)
    floor (0.442890167236328 × 131072)
    floor (58050.5)     		tx = 58050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690952301025391 × 217)
    floor (0.690952301025391 × 131072)
    floor (90564.5)     		ty = 90564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58050 / 90564 ti = "17/58050/90564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58050/90564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58050 ÷ 217
    58050 ÷ 131072     		x = 0.442886352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90564 ÷ 217
    90564 ÷ 131072     		y = 0.690948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442886352539062 × 2 - 1) × π
    -0.114227294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35885563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.38189697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19976472369077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35885563} λ = -0.35885563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19976472369077))-π/2
    2×atan(0.301265084111691)-π/2
    2×0.292617017606387-π/2
    0.585234035212774-1.57079632675     		φ = -0.98556229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35885563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.560913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98556229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.468560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58050 KachelY 90564 -0.35885563 -0.98556229 -20.560913 -56.468560
    Oben rechts KachelX + 1 58051 KachelY 90564 -0.35880769 -0.98556229 -20.558166 -56.468560
    Unten links KachelX 58050 KachelY + 1 90565 -0.35885563 -0.98558877 -20.560913 -56.470077
    Unten rechts KachelX + 1 58051 KachelY + 1 90565 -0.35880769 -0.98558877 -20.558166 -56.470077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98556229--0.98558877) × R
    2.64800000000509e-05 × 6371000     		dl = 168.704080000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98556229--0.98558877) × R
    2.64800000000509e-05 × 6371000     		dr = 168.704080000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35885563--0.35880769) × cos(-0.98556229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.552394486510025 × 6371000     		do = 168.715494814134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35885563--0.35880769) × cos(-0.98558877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.552372413043073 × 6371000     		du = 168.708753009155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98556229)-sin(-0.98558877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552394486510025-0.552372413043073)×R²
    abs(-0.35880769--0.35885563)×2.20734669519329e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20734669519329e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20734669519329e-05×40589641000000     		ar = 28462.4236511403m²