Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58049 / 90559
↖ ↑ ↗
← S 56.460973°
W 20.563660°		 ← 168.75 m → S 56.460973°
W 20.560913°		 →
↑
168.70 m
↓
↑
168.70 m
↓
S 56.462490°
W 20.563660°		 ← 168.74 m →
28 468 m²		 S 56.462490°
W 20.560913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442882537841797 y=0.690914154052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442882537841797 × 217)
    floor (0.442882537841797 × 131072)
    floor (58049.5)     		tx = 58049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690914154052734 × 217)
    floor (0.690914154052734 × 131072)
    floor (90559.5)     		ty = 90559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58049 / 90559 ti = "17/58049/90559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58049/90559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58049 ÷ 217
    58049 ÷ 131072     		x = 0.442878723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90559 ÷ 217
    90559 ÷ 131072     		y = 0.690910339355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442878723144531 × 2 - 1) × π
    -0.114242553710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35890357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690910339355469 × 2 - 1) × π
    -0.381820678710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.19952503919267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35890357} λ = -0.35890357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19952503919267))-π/2
    2×atan(0.301337301336501)-π/2
    2×0.292683224417399-π/2
    0.585366448834798-1.57079632675     		φ = -0.98542988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35890357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.563660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98542988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.460973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58049 KachelY 90559 -0.35890357 -0.98542988 -20.563660 -56.460973
    Oben rechts KachelX + 1 58050 KachelY 90559 -0.35885563 -0.98542988 -20.560913 -56.460973
    Unten links KachelX 58049 KachelY + 1 90560 -0.35890357 -0.98545636 -20.563660 -56.462490
    Unten rechts KachelX + 1 58050 KachelY + 1 90560 -0.35885563 -0.98545636 -20.560913 -56.462490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98542988--0.98545636) × R
    2.64800000000509e-05 × 6371000     		dl = 168.704080000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98542988--0.98545636) × R
    2.64800000000509e-05 × 6371000     		dr = 168.704080000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35890357--0.35885563) × cos(-0.98542988) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.552504856369566 × 6371000     		do = 168.749204610353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35890357--0.35885563) × cos(-0.98545636) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.552482784839583 × 6371000     		du = 168.742463396975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98542988)-sin(-0.98545636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552504856369566-0.552482784839583)×R²
    abs(-0.35885563--0.35890357)×2.20715299822372e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20715299822372e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20715299822372e-05×40589641000000     		ar = 28468.1106811109m²