Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58049 / 88772
↖ ↑ ↗
← S 53.651150°
W 20.563660°		 ← 181.03 m → S 53.651150°
W 20.560913°		 →
↑
181.06 m
↓
↑
181.06 m
↓
S 53.652778°
W 20.563660°		 ← 181.02 m →
32 777 m²		 S 53.652778°
W 20.560913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442882537841797 y=0.677280426025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442882537841797 × 217)
    floor (0.442882537841797 × 131072)
    floor (58049.5)     		tx = 58049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677280426025391 × 217)
    floor (0.677280426025391 × 131072)
    floor (88772.5)     		ty = 88772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58049 / 88772 ti = "17/58049/88772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58049/88772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58049 ÷ 217
    58049 ÷ 131072     		x = 0.442878723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88772 ÷ 217
    88772 ÷ 131072     		y = 0.677276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442878723144531 × 2 - 1) × π
    -0.114242553710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35890357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.35455322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11386179957162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35890357} λ = -0.35890357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11386179957162))-π/2
    2×atan(0.32828872469827)-π/2
    2×0.317203556567246-π/2
    0.634407113134492-1.57079632675     		φ = -0.93638921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35890357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.563660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93638921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.651150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58049 KachelY 88772 -0.35890357 -0.93638921 -20.563660 -53.651150
    Oben rechts KachelX + 1 58050 KachelY 88772 -0.35885563 -0.93638921 -20.560913 -53.651150
    Unten links KachelX 58049 KachelY + 1 88773 -0.35890357 -0.93641763 -20.563660 -53.652778
    Unten rechts KachelX + 1 58050 KachelY + 1 88773 -0.35885563 -0.93641763 -20.560913 -53.652778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93638921--0.93641763) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dl = 181.063820000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93638921--0.93641763) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dr = 181.063820000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35890357--0.35885563) × cos(-0.93638921) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.592700096641975 × 6371000     		do = 181.025865615038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35890357--0.35885563) × cos(-0.93641763) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.592677206274138 × 6371000     		du = 181.018874307502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93638921)-sin(-0.93641763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592700096641975-0.592677206274138)×R²
    abs(-0.35885563--0.35890357)×2.28903678369807e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28903678369807e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28903678369807e-05×40589641000000     		ar = 32776.6018127455m²