Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58048 / 89406
↖ ↑ ↗
← S 54.670655°
W 20.566406°		 ← 176.58 m → S 54.670655°
W 20.563660°		 →
↑
176.60 m
↓
↑
176.60 m
↓
S 54.672243°
W 20.566406°		 ← 176.58 m →
31 185 m²		 S 54.672243°
W 20.563660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442874908447266 y=0.682117462158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442874908447266 × 217)
    floor (0.442874908447266 × 131072)
    floor (58048.5)     		tx = 58048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682117462158203 × 217)
    floor (0.682117462158203 × 131072)
    floor (89406.5)     		ty = 89406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58048 / 89406 ti = "17/58048/89406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58048/89406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58048 ÷ 217
    58048 ÷ 131072     		x = 0.44287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89406 ÷ 217
    89406 ÷ 131072     		y = 0.682113647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44287109375 × 2 - 1) × π
    -0.1142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35895150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682113647460938 × 2 - 1) × π
    -0.364227294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14425379393074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35895150} λ = -0.35895150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14425379393074))-π/2
    2×atan(0.318461467028577)-π/2
    2×0.308306700542808-π/2
    0.616613401085616-1.57079632675     		φ = -0.95418293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35895150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95418293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.670655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58048 KachelY 89406 -0.35895150 -0.95418293 -20.566406 -54.670655
    Oben rechts KachelX + 1 58049 KachelY 89406 -0.35890357 -0.95418293 -20.563660 -54.670655
    Unten links KachelX 58048 KachelY + 1 89407 -0.35895150 -0.95421065 -20.566406 -54.672243
    Unten rechts KachelX + 1 58049 KachelY + 1 89407 -0.35890357 -0.95421065 -20.563660 -54.672243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95418293--0.95421065) × R
    2.77200000000644e-05 × 6371000     		dl = 176.60412000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95418293--0.95421065) × R
    2.77200000000644e-05 × 6371000     		dr = 176.60412000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35895150--0.35890357) × cos(-0.95418293) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.578275550449524 × 6371000     		do = 176.583395984538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35895150--0.35890357) × cos(-0.95421065) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.578252935100385 × 6371000     		du = 176.576490115615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95418293)-sin(-0.95421065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578275550449524-0.578252935100385)×R²
    abs(-0.35890357--0.35895150)×2.26153491384995e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.26153491384995e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.26153491384995e-05×40589641000000     		ar = 31184.7454541671m²