Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58045 / 88715
↖ ↑ ↗
← S 53.558258°
W 20.574646°		 ← 181.42 m → S 53.558258°
W 20.571900°		 →
↑
181.38 m
↓
↑
181.38 m
↓
S 53.559889°
W 20.574646°		 ← 181.42 m →
32 907 m²		 S 53.559889°
W 20.571900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442852020263672 y=0.676845550537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442852020263672 × 217)
    floor (0.442852020263672 × 131072)
    floor (58045.5)     		tx = 58045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676845550537109 × 217)
    floor (0.676845550537109 × 131072)
    floor (88715.5)     		ty = 88715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58045 / 88715 ti = "17/58045/88715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58045/88715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58045 ÷ 217
    58045 ÷ 131072     		x = 0.442848205566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88715 ÷ 217
    88715 ÷ 131072     		y = 0.676841735839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442848205566406 × 2 - 1) × π
    -0.114303588867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35909532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676841735839844 × 2 - 1) × π
    -0.353683471679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.11112939629328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35909532} λ = -0.35909532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11112939629328))-π/2
    2×atan(0.329186968509186)-π/2
    2×0.318014195728524-π/2
    0.636028391457049-1.57079632675     		φ = -0.93476794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35909532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.574646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93476794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.558258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58045 KachelY 88715 -0.35909532 -0.93476794 -20.574646 -53.558258
    Oben rechts KachelX + 1 58046 KachelY 88715 -0.35904738 -0.93476794 -20.571900 -53.558258
    Unten links KachelX 58045 KachelY + 1 88716 -0.35909532 -0.93479641 -20.574646 -53.559889
    Unten rechts KachelX + 1 58046 KachelY + 1 88716 -0.35904738 -0.93479641 -20.571900 -53.559889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93476794--0.93479641) × R
    2.84700000000582e-05 × 6371000     		dl = 181.382370000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93476794--0.93479641) × R
    2.84700000000582e-05 × 6371000     		dr = 181.382370000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35909532--0.35904738) × cos(-0.93476794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594005125645346 × 6371000     		do = 181.424455063904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35909532--0.35904738) × cos(-0.93479641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593982222392688 × 6371000     		du = 181.417459821012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93476794)-sin(-0.93479641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594005125645346-0.593982222392688)×R²
    abs(-0.35904738--0.35909532)×2.29032526579687e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29032526579687e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29032526579687e-05×40589641000000     		ar = 32906.5632307225m²