Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58044 / 88724
↖ ↑ ↗
← S 53.572938°
W 20.577392°		 ← 181.32 m → S 53.572938°
W 20.574646°		 →
↑
181.38 m
↓
↑
181.38 m
↓
S 53.574569°
W 20.577392°		 ← 181.32 m →
32 888 m²		 S 53.574569°
W 20.574646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442844390869141 y=0.676914215087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442844390869141 × 217)
    floor (0.442844390869141 × 131072)
    floor (58044.5)     		tx = 58044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676914215087891 × 217)
    floor (0.676914215087891 × 131072)
    floor (88724.5)     		ty = 88724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58044 / 88724 ti = "17/58044/88724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58044/88724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58044 ÷ 217
    58044 ÷ 131072     		x = 0.442840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88724 ÷ 217
    88724 ÷ 131072     		y = 0.676910400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442840576171875 × 2 - 1) × π
    -0.11431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35914325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676910400390625 × 2 - 1) × π
    -0.35382080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.11156082838986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35914325} λ = -0.35914325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11156082838986))-π/2
    2×atan(0.329044977317177)-π/2
    2×0.317886081524359-π/2
    0.635772163048719-1.57079632675     		φ = -0.93502416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35914325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.577392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93502416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.572938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58044 KachelY 88724 -0.35914325 -0.93502416 -20.577392 -53.572938
    Oben rechts KachelX + 1 58045 KachelY 88724 -0.35909532 -0.93502416 -20.574646 -53.572938
    Unten links KachelX 58044 KachelY + 1 88725 -0.35914325 -0.93505263 -20.577392 -53.574569
    Unten rechts KachelX + 1 58045 KachelY + 1 88725 -0.35909532 -0.93505263 -20.574646 -53.574569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93502416--0.93505263) × R
    2.84700000000582e-05 × 6371000     		dl = 181.382370000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93502416--0.93505263) × R
    2.84700000000582e-05 × 6371000     		dr = 181.382370000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35914325--0.35909532) × cos(-0.93502416) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593798987087031 × 6371000     		do = 181.323664108951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35914325--0.35909532) × cos(-0.93505263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593776079502189 × 6371000     		du = 181.316669002341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93502416)-sin(-0.93505263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593798987087031-0.593776079502189)×R²
    abs(-0.35909532--0.35914325)×2.29075848424687e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29075848424687e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29075848424687e-05×40589641000000     		ar = 32888.2815407957m²