Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58043 / 90563
↖ ↑ ↗
← S 56.467042°
W 20.580139°		 ← 168.72 m → S 56.467042°
W 20.577392°		 →
↑
168.70 m
↓
↑
168.70 m
↓
S 56.468560°
W 20.580139°		 ← 168.72 m →
28 464 m²		 S 56.468560°
W 20.577392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442836761474609 y=0.690944671630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442836761474609 × 217)
    floor (0.442836761474609 × 131072)
    floor (58043.5)     		tx = 58043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690944671630859 × 217)
    floor (0.690944671630859 × 131072)
    floor (90563.5)     		ty = 90563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58043 / 90563 ti = "17/58043/90563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58043/90563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58043 ÷ 217
    58043 ÷ 131072     		x = 0.442832946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90563 ÷ 217
    90563 ÷ 131072     		y = 0.690940856933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442832946777344 × 2 - 1) × π
    -0.114334106445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35919119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690940856933594 × 2 - 1) × π
    -0.381881713867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.19971678679115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35919119} λ = -0.35919119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19971678679115))-π/2
    2×atan(0.301279526171939)-π/2
    2×0.292630257910415-π/2
    0.585260515820829-1.57079632675     		φ = -0.98553581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35919119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.580139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98553581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.467042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58043 KachelY 90563 -0.35919119 -0.98553581 -20.580139 -56.467042
    Oben rechts KachelX + 1 58044 KachelY 90563 -0.35914325 -0.98553581 -20.577392 -56.467042
    Unten links KachelX 58043 KachelY + 1 90564 -0.35919119 -0.98556229 -20.580139 -56.468560
    Unten rechts KachelX + 1 58044 KachelY + 1 90564 -0.35914325 -0.98556229 -20.577392 -56.468560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98553581--0.98556229) × R
    2.64799999999399e-05 × 6371000     		dl = 168.704079999617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98553581--0.98556229) × R
    2.64799999999399e-05 × 6371000     		dr = 168.704079999617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35919119--0.35914325) × cos(-0.98553581) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.552416559589643 × 6371000     		do = 168.72223650081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35919119--0.35914325) × cos(-0.98556229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.552394486510025 × 6371000     		du = 168.715494814134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98553581)-sin(-0.98556229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552416559589643-0.552394486510025)×R²
    abs(-0.35914325--0.35919119)×2.20730796182123e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20730796182123e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20730796182123e-05×40589641000000     		ar = 28463.5610108532m²