Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58043 / 88809
↖ ↑ ↗
← S 53.711339°
W 20.580139°		 ← 180.77 m → S 53.711339°
W 20.577392°		 →
↑
180.81 m
↓
↑
180.81 m
↓
S 53.712965°
W 20.580139°		 ← 180.76 m →
32 684 m²		 S 53.712965°
W 20.577392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442836761474609 y=0.677562713623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442836761474609 × 217)
    floor (0.442836761474609 × 131072)
    floor (58043.5)     		tx = 58043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677562713623047 × 217)
    floor (0.677562713623047 × 131072)
    floor (88809.5)     		ty = 88809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58043 / 88809 ti = "17/58043/88809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58043/88809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58043 ÷ 217
    58043 ÷ 131072     		x = 0.442832946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88809 ÷ 217
    88809 ÷ 131072     		y = 0.677558898925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442832946777344 × 2 - 1) × π
    -0.114334106445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35919119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677558898925781 × 2 - 1) × π
    -0.355117797851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.11563546485757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35919119} λ = -0.35919119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11563546485757))-π/2
    2×atan(0.327706966458217)-π/2
    2×0.316678306136281-π/2
    0.633356612272562-1.57079632675     		φ = -0.93743971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35919119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.580139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93743971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.711339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58043 KachelY 88809 -0.35919119 -0.93743971 -20.580139 -53.711339
    Oben rechts KachelX + 1 58044 KachelY 88809 -0.35914325 -0.93743971 -20.577392 -53.711339
    Unten links KachelX 58043 KachelY + 1 88810 -0.35919119 -0.93746809 -20.580139 -53.712965
    Unten rechts KachelX + 1 58044 KachelY + 1 88810 -0.35914325 -0.93746809 -20.577392 -53.712965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93743971--0.93746809) × R
    2.8379999999939e-05 × 6371000     		dl = 180.808979999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93743971--0.93746809) × R
    2.8379999999939e-05 × 6371000     		dr = 180.808979999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35919119--0.35914325) × cos(-0.93743971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591853672646894 × 6371000     		do = 180.767345939777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35919119--0.35914325) × cos(-0.93746809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591830796839336 × 6371000     		du = 180.760359079325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93743971)-sin(-0.93746809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591853672646894-0.591830796839336)×R²
    abs(-0.35914325--0.35919119)×2.28758075579982e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28758075579982e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28758075579982e-05×40589641000000     		ar = 32683.727795232m²