Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58040 / 88552
↖ ↑ ↗
← S 53.291489°
W 20.588379°		 ← 182.57 m → S 53.291489°
W 20.585632°		 →
↑
182.53 m
↓
↑
182.53 m
↓
S 53.293131°
W 20.588379°		 ← 182.56 m →
33 323 m²		 S 53.293131°
W 20.585632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442813873291016 y=0.675601959228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442813873291016 × 217)
    floor (0.442813873291016 × 131072)
    floor (58040.5)     		tx = 58040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675601959228516 × 217)
    floor (0.675601959228516 × 131072)
    floor (88552.5)     		ty = 88552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58040 / 88552 ti = "17/58040/88552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58040/88552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58040 ÷ 217
    58040 ÷ 131072     		x = 0.44281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88552 ÷ 217
    88552 ÷ 131072     		y = 0.67559814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.1143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35933500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67559814453125 × 2 - 1) × π
    -0.3511962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10331568165521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35933500} λ = -0.35933500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10331568165521))-π/2
    2×atan(0.331769216881576)-π/2
    2×0.320342189666851-π/2
    0.640684379333702-1.57079632675     		φ = -0.93011195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35933500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.588379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93011195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.291489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58040 KachelY 88552 -0.35933500 -0.93011195 -20.588379 -53.291489
    Oben rechts KachelX + 1 58041 KachelY 88552 -0.35928706 -0.93011195 -20.585632 -53.291489
    Unten links KachelX 58040 KachelY + 1 88553 -0.35933500 -0.93014060 -20.588379 -53.293131
    Unten rechts KachelX + 1 58041 KachelY + 1 88553 -0.35928706 -0.93014060 -20.585632 -53.293131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93011195--0.93014060) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000     		dl = 182.529149999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93011195--0.93014060) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000     		dr = 182.529149999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35933500--0.35928706) × cos(-0.93011195) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.597744237188836 × 6371000     		do = 182.566475974227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35933500--0.35928706) × cos(-0.93014060) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.597721268614883 × 6371000     		du = 182.559460780531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93011195)-sin(-0.93014060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597744237188836-0.597721268614883)×R²
    abs(-0.35928706--0.35933500)×2.29685739534524e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29685739534524e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29685739534524e-05×40589641000000     		ar = 33323.0634416855m²