Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58038 / 88755
↖ ↑ ↗
← S 53.623467°
W 20.593872°		 ← 181.11 m → S 53.623467°
W 20.591126°		 →
↑
181.13 m
↓
↑
181.13 m
↓
S 53.625096°
W 20.593872°		 ← 181.10 m →
32 803 m²		 S 53.625096°
W 20.591126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442798614501953 y=0.677150726318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442798614501953 × 217)
    floor (0.442798614501953 × 131072)
    floor (58038.5)     		tx = 58038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677150726318359 × 217)
    floor (0.677150726318359 × 131072)
    floor (88755.5)     		ty = 88755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58038 / 88755 ti = "17/58038/88755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58038/88755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58038 ÷ 217
    58038 ÷ 131072     		x = 0.442794799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88755 ÷ 217
    88755 ÷ 131072     		y = 0.677146911621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442794799804688 × 2 - 1) × π
    -0.114410400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35943087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677146911621094 × 2 - 1) × π
    -0.354293823242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.11304687227808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35943087} λ = -0.35943087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11304687227808))-π/2
    2×atan(0.328556365179143)-π/2
    2×0.317445139573674-π/2
    0.634890279147347-1.57079632675     		φ = -0.93590605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35943087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.593872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93590605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.623467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58038 KachelY 88755 -0.35943087 -0.93590605 -20.593872 -53.623467
    Oben rechts KachelX + 1 58039 KachelY 88755 -0.35938294 -0.93590605 -20.591126 -53.623467
    Unten links KachelX 58038 KachelY + 1 88756 -0.35943087 -0.93593448 -20.593872 -53.625096
    Unten rechts KachelX + 1 58039 KachelY + 1 88756 -0.35938294 -0.93593448 -20.591126 -53.625096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93590605--0.93593448) × R
    2.84299999999682e-05 × 6371000     		dl = 181.127529999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93590605--0.93593448) × R
    2.84299999999682e-05 × 6371000     		dr = 181.127529999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35943087--0.35938294) × cos(-0.93590605) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593089175738429 × 6371000     		do = 181.106914674624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35943087--0.35938294) × cos(-0.93593448) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593066285460176 × 6371000     		du = 181.09992485279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93590605)-sin(-0.93593448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593089175738429-0.593066285460176)×R²
    abs(-0.35938294--0.35943087)×2.28902782526408e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28902782526408e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28902782526408e-05×40589641000000     		ar = 32802.8150985943m²