Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58033 / 88758
↖ ↑ ↗
← S 53.628353°
W 20.607605°		 ← 181.12 m → S 53.628353°
W 20.604858°		 →
↑
181.06 m
↓
↑
181.06 m
↓
S 53.629982°
W 20.607605°		 ← 181.12 m →
32 794 m²		 S 53.629982°
W 20.604858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442760467529297 y=0.677173614501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442760467529297 × 217)
    floor (0.442760467529297 × 131072)
    floor (58033.5)     		tx = 58033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677173614501953 × 217)
    floor (0.677173614501953 × 131072)
    floor (88758.5)     		ty = 88758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58033 / 88758 ti = "17/58033/88758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58033/88758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58033 ÷ 217
    58033 ÷ 131072     		x = 0.442756652832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88758 ÷ 217
    88758 ÷ 131072     		y = 0.677169799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442756652832031 × 2 - 1) × π
    -0.114486694335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35967056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677169799804688 × 2 - 1) × π
    -0.354339599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.11319068297694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35967056} λ = -0.35967056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11319068297694))-π/2
    2×atan(0.328509118656011)-π/2
    2×0.317402495758018-π/2
    0.634804991516036-1.57079632675     		φ = -0.93599134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35967056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.607605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93599134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.628353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58033 KachelY 88758 -0.35967056 -0.93599134 -20.607605 -53.628353
    Oben rechts KachelX + 1 58034 KachelY 88758 -0.35962262 -0.93599134 -20.604858 -53.628353
    Unten links KachelX 58033 KachelY + 1 88759 -0.35967056 -0.93601976 -20.607605 -53.629982
    Unten rechts KachelX + 1 58034 KachelY + 1 88759 -0.35962262 -0.93601976 -20.604858 -53.629982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93599134--0.93601976) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dl = 181.063820000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93599134--0.93601976) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dr = 181.063820000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35967056--0.35962262) × cos(-0.93599134) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593020503465626 × 6371000     		do = 181.123726106043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35967056--0.35962262) × cos(-0.93601976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592997619801407 × 6371000     		du = 181.116736845965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93599134)-sin(-0.93601976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593020503465626-0.592997619801407)×R²
    abs(-0.35962262--0.35967056)×2.28836642189867e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28836642189867e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28836642189867e-05×40589641000000     		ar = 32794.3209927573m²