Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58030 / 89847
↖ ↑ ↗
← S 55.365064°
W 20.615845°		 ← 173.59 m → S 55.365064°
W 20.613098°		 →
↑
173.55 m
↓
↑
173.55 m
↓
S 55.366625°
W 20.615845°		 ← 173.58 m →
30 125 m²		 S 55.366625°
W 20.613098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442737579345703 y=0.685482025146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442737579345703 × 217)
    floor (0.442737579345703 × 131072)
    floor (58030.5)     		tx = 58030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685482025146484 × 217)
    floor (0.685482025146484 × 131072)
    floor (89847.5)     		ty = 89847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58030 / 89847 ti = "17/58030/89847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58030/89847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58030 ÷ 217
    58030 ÷ 131072     		x = 0.442733764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89847 ÷ 217
    89847 ÷ 131072     		y = 0.685478210449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442733764648438 × 2 - 1) × π
    -0.114532470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35981437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685478210449219 × 2 - 1) × π
    -0.370956420898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.16539396666319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35981437} λ = -0.35981437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16539396666319))-π/2
    2×atan(0.311799799105852)-π/2
    2×0.302246835831715-π/2
    0.60449367166343-1.57079632675     		φ = -0.96630266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35981437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.615845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96630266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.365064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58030 KachelY 89847 -0.35981437 -0.96630266 -20.615845 -55.365064
    Oben rechts KachelX + 1 58031 KachelY 89847 -0.35976643 -0.96630266 -20.613098 -55.365064
    Unten links KachelX 58030 KachelY + 1 89848 -0.35981437 -0.96632990 -20.615845 -55.366625
    Unten rechts KachelX + 1 58031 KachelY + 1 89848 -0.35976643 -0.96632990 -20.613098 -55.366625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96630266--0.96632990) × R
    2.72399999999839e-05 × 6371000     		dl = 173.546039999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96630266--0.96632990) × R
    2.72399999999839e-05 × 6371000     		dr = 173.546039999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35981437--0.35976643) × cos(-0.96630266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.568345543245689 × 6371000     		do = 173.587358121403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35981437--0.35976643) × cos(-0.96632990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.568323130235903 × 6371000     		du = 173.580512611303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96630266)-sin(-0.96632990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568345543245689-0.568323130235903)×R²
    abs(-0.35976643--0.35981437)×2.24130097858932e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24130097858932e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24130097858932e-05×40589641000000     		ar = 30124.8045922835m²