Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58030 / 89031
↖ ↑ ↗
← S 54.070671°
W 20.615845°		 ← 179.22 m → S 54.070671°
W 20.613098°		 →
↑
179.22 m
↓
↑
179.22 m
↓
S 54.072283°
W 20.615845°		 ← 179.21 m →
32 118 m²		 S 54.072283°
W 20.613098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442737579345703 y=0.679256439208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442737579345703 × 217)
    floor (0.442737579345703 × 131072)
    floor (58030.5)     		tx = 58030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679256439208984 × 217)
    floor (0.679256439208984 × 131072)
    floor (89031.5)     		ty = 89031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58030 / 89031 ti = "17/58030/89031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58030/89031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58030 ÷ 217
    58030 ÷ 131072     		x = 0.442733764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89031 ÷ 217
    89031 ÷ 131072     		y = 0.679252624511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442733764648438 × 2 - 1) × π
    -0.114532470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35981437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679252624511719 × 2 - 1) × π
    -0.358505249023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.12627745657322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35981437} λ = -0.35981437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12627745657322))-π/2
    2×atan(0.324238002716565)-π/2
    2×0.313542544302351-π/2
    0.627085088604701-1.57079632675     		φ = -0.94371124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35981437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.615845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94371124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.070671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58030 KachelY 89031 -0.35981437 -0.94371124 -20.615845 -54.070671
    Oben rechts KachelX + 1 58031 KachelY 89031 -0.35976643 -0.94371124 -20.613098 -54.070671
    Unten links KachelX 58030 KachelY + 1 89032 -0.35981437 -0.94373937 -20.615845 -54.072283
    Unten rechts KachelX + 1 58031 KachelY + 1 89032 -0.35976643 -0.94373937 -20.613098 -54.072283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94371124--0.94373937) × R
    2.81300000000151e-05 × 6371000     		dl = 179.216230000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94371124--0.94373937) × R
    2.81300000000151e-05 × 6371000     		dr = 179.216230000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35981437--0.35976643) × cos(-0.94371124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.586786928326677 × 6371000     		do = 179.219831806385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35981437--0.35976643) × cos(-0.94373937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.586764150069529 × 6371000     		du = 179.212874740339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94371124)-sin(-0.94373937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586786928326677-0.586764150069529)×R²
    abs(-0.35976643--0.35981437)×2.27782571475821e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27782571475821e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27782571475821e-05×40589641000000     		ar = 32118.4791901284m²