Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58029 / 89850
↖ ↑ ↗
← S 55.369746°
W 20.618592°		 ← 173.57 m → S 55.369746°
W 20.615845°		 →
↑
173.61 m
↓
↑
173.61 m
↓
S 55.371308°
W 20.618592°		 ← 173.56 m →
30 132 m²		 S 55.371308°
W 20.615845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442729949951172 y=0.685504913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442729949951172 × 217)
    floor (0.442729949951172 × 131072)
    floor (58029.5)     		tx = 58029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685504913330078 × 217)
    floor (0.685504913330078 × 131072)
    floor (89850.5)     		ty = 89850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58029 / 89850 ti = "17/58029/89850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58029/89850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58029 ÷ 217
    58029 ÷ 131072     		x = 0.442726135253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89850 ÷ 217
    89850 ÷ 131072     		y = 0.685501098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442726135253906 × 2 - 1) × π
    -0.114547729492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35986231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685501098632812 × 2 - 1) × π
    -0.371002197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16553777736205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35986231} λ = -0.35986231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16553777736205))-π/2
    2×atan(0.31175496218293)-π/2
    2×0.302205971164313-π/2
    0.604411942328625-1.57079632675     		φ = -0.96638438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35986231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.618592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96638438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.369746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58029 KachelY 89850 -0.35986231 -0.96638438 -20.618592 -55.369746
    Oben rechts KachelX + 1 58030 KachelY 89850 -0.35981437 -0.96638438 -20.615845 -55.369746
    Unten links KachelX 58029 KachelY + 1 89851 -0.35986231 -0.96641163 -20.618592 -55.371308
    Unten rechts KachelX + 1 58030 KachelY + 1 89851 -0.35981437 -0.96641163 -20.615845 -55.371308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96638438--0.96641163) × R
    2.72499999999232e-05 × 6371000     		dl = 173.609749999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96638438--0.96641163) × R
    2.72499999999232e-05 × 6371000     		dr = 173.609749999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35986231--0.35981437) × cos(-0.96638438) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.56827830295123 × 6371000     		do = 173.566821204911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35986231--0.35981437) × cos(-0.96641163) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568255880447858 × 6371000     		du = 173.559972795226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96638438)-sin(-0.96641163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56827830295123-0.568255880447858)×R²
    abs(-0.35981437--0.35986231)×2.24225033722547e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24225033722547e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24225033722547e-05×40589641000000     		ar = 30132.297964026m²