Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58028 / 89849
↖ ↑ ↗
← S 55.368186°
W 20.621338°		 ← 173.54 m → S 55.368186°
W 20.618592°		 →
↑
173.55 m
↓
↑
173.55 m
↓
S 55.369746°
W 20.621338°		 ← 173.53 m →
30 116 m²		 S 55.369746°
W 20.618592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442722320556641 y=0.685497283935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442722320556641 × 217)
    floor (0.442722320556641 × 131072)
    floor (58028.5)     		tx = 58028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685497283935547 × 217)
    floor (0.685497283935547 × 131072)
    floor (89849.5)     		ty = 89849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58028 / 89849 ti = "17/58028/89849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58028/89849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58028 ÷ 217
    58028 ÷ 131072     		x = 0.442718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89849 ÷ 217
    89849 ÷ 131072     		y = 0.685493469238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.11456298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35991024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685493469238281 × 2 - 1) × π
    -0.370986938476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.16548984046243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35991024} λ = -0.35991024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16548984046243))-π/2
    2×atan(0.311769907107462)-π/2
    2×0.302219592182839-π/2
    0.604439184365677-1.57079632675     		φ = -0.96635714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35991024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.621338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96635714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.368186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58028 KachelY 89849 -0.35991024 -0.96635714 -20.621338 -55.368186
    Oben rechts KachelX + 1 58029 KachelY 89849 -0.35986231 -0.96635714 -20.618592 -55.368186
    Unten links KachelX 58028 KachelY + 1 89850 -0.35991024 -0.96638438 -20.621338 -55.369746
    Unten rechts KachelX + 1 58029 KachelY + 1 89850 -0.35986231 -0.96638438 -20.618592 -55.369746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96635714--0.96638438) × R
    2.7240000000095e-05 × 6371000     		dl = 173.546040000605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96635714--0.96638438) × R
    2.7240000000095e-05 × 6371000     		dr = 173.546040000605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35991024--0.35986231) × cos(-0.96635714) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.568300716804411 × 6371000     		do = 173.537460533755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35991024--0.35986231) × cos(-0.96638438) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.56827830295123 × 6371000     		du = 173.530616194048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96635714)-sin(-0.96638438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568300716804411-0.56827830295123)×R²
    abs(-0.35986231--0.35991024)×2.24138531809137e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.24138531809137e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.24138531809137e-05×40589641000000     		ar = 30116.1451652337m²