Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58027 / 88723
↖ ↑ ↗
← S 53.571307°
W 20.624085°		 ← 181.37 m → S 53.571307°
W 20.621338°		 →
↑
181.32 m
↓
↑
181.32 m
↓
S 53.572938°
W 20.624085°		 ← 181.36 m →
32 885 m²		 S 53.572938°
W 20.621338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442714691162109 y=0.676906585693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442714691162109 × 217)
    floor (0.442714691162109 × 131072)
    floor (58027.5)     		tx = 58027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676906585693359 × 217)
    floor (0.676906585693359 × 131072)
    floor (88723.5)     		ty = 88723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58027 / 88723 ti = "17/58027/88723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58027/88723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58027 ÷ 217
    58027 ÷ 131072     		x = 0.442710876464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88723 ÷ 217
    88723 ÷ 131072     		y = 0.676902770996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442710876464844 × 2 - 1) × π
    -0.114578247070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35995818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676902770996094 × 2 - 1) × π
    -0.353805541992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.11151289149024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35995818} λ = -0.35995818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11151289149024))-π/2
    2×atan(0.329060751091295)-π/2
    2×0.317900314239985-π/2
    0.635800628479971-1.57079632675     		φ = -0.93499570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35995818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.624085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93499570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.571307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58027 KachelY 88723 -0.35995818 -0.93499570 -20.624085 -53.571307
    Oben rechts KachelX + 1 58028 KachelY 88723 -0.35991024 -0.93499570 -20.621338 -53.571307
    Unten links KachelX 58027 KachelY + 1 88724 -0.35995818 -0.93502416 -20.624085 -53.572938
    Unten rechts KachelX + 1 58028 KachelY + 1 88724 -0.35991024 -0.93502416 -20.621338 -53.572938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93499570--0.93502416) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dl = 181.31866000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93499570--0.93502416) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dr = 181.31866000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35995818--0.35991024) × cos(-0.93499570) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.59382188614461 × 6371000     		do = 181.368489004004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35995818--0.35991024) × cos(-0.93502416) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.593798987087031 × 6371000     		du = 181.361495042398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93499570)-sin(-0.93502416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59382188614461-0.593798987087031)×R²
    abs(-0.35991024--0.35995818)×2.28990575789068e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28990575789068e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28990575789068e-05×40589641000000     		ar = 32884.8573268902m²