Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58023 / 89855
↖ ↑ ↗
← S 55.377550°
W 20.635071°		 ← 173.53 m → S 55.377550°
W 20.632324°		 →
↑
173.48 m
↓
↑
173.48 m
↓
S 55.379110°
W 20.635071°		 ← 173.53 m →
30 104 m²		 S 55.379110°
W 20.632324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442684173583984 y=0.685543060302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442684173583984 × 217)
    floor (0.442684173583984 × 131072)
    floor (58023.5)     		tx = 58023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685543060302734 × 217)
    floor (0.685543060302734 × 131072)
    floor (89855.5)     		ty = 89855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58023 / 89855 ti = "17/58023/89855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58023/89855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58023 ÷ 217
    58023 ÷ 131072     		x = 0.442680358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89855 ÷ 217
    89855 ÷ 131072     		y = 0.685539245605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442680358886719 × 2 - 1) × π
    -0.114639282226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.36014993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685539245605469 × 2 - 1) × π
    -0.371078491210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.16577746186015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36014993} λ = -0.36014993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16577746186015))-π/2
    2×atan(0.311680248305525)-π/2
    2×0.302137874130359-π/2
    0.604275748260719-1.57079632675     		φ = -0.96652058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36014993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.635071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96652058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.377550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58023 KachelY 89855 -0.36014993 -0.96652058 -20.635071 -55.377550
    Oben rechts KachelX + 1 58024 KachelY 89855 -0.36010199 -0.96652058 -20.632324 -55.377550
    Unten links KachelX 58023 KachelY + 1 89856 -0.36014993 -0.96654781 -20.635071 -55.379110
    Unten rechts KachelX + 1 58024 KachelY + 1 89856 -0.36010199 -0.96654781 -20.632324 -55.379110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96652058--0.96654781) × R
    2.72300000000447e-05 × 6371000     		dl = 173.482330000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96652058--0.96654781) × R
    2.72300000000447e-05 × 6371000     		dr = 173.482330000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36014993--0.36010199) × cos(-0.96652058) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568166227360571 × 6371000     		do = 173.532590434698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36014993--0.36010199) × cos(-0.96654781) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.568143819206898 × 6371000     		du = 173.52574640778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96652058)-sin(-0.96654781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568166227360571-0.568143819206898)×R²
    abs(-0.36010199--0.36014993)×2.24081536736032e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24081536736032e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24081536736032e-05×40589641000000     		ar = 30104.2444624956m²