Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58022 / 90760
↖ ↑ ↗
← S 56.764767°
W 20.637817°		 ← 167.36 m → S 56.764767°
W 20.635071°		 →
↑
167.43 m
↓
↑
167.43 m
↓
S 56.766273°
W 20.637817°		 ← 167.36 m →
28 021 m²		 S 56.766273°
W 20.635071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442676544189453 y=0.692447662353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442676544189453 × 217)
    floor (0.442676544189453 × 131072)
    floor (58022.5)     		tx = 58022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692447662353516 × 217)
    floor (0.692447662353516 × 131072)
    floor (90760.5)     		ty = 90760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58022 / 90760 ti = "17/58022/90760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58022/90760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58022 ÷ 217
    58022 ÷ 131072     		x = 0.442672729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90760 ÷ 217
    90760 ÷ 131072     		y = 0.69244384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442672729492188 × 2 - 1) × π
    -0.114654541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36019786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.3848876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.2091603560163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36019786} λ = -0.36019786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2091603560163))-π/2
    2×atan(0.298447764125785)-π/2
    2×0.290032117180084-π/2
    0.580064234360167-1.57079632675     		φ = -0.99073209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36019786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.637817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99073209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.764767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58022 KachelY 90760 -0.36019786 -0.99073209 -20.637817 -56.764767
    Oben rechts KachelX + 1 58023 KachelY 90760 -0.36014993 -0.99073209 -20.635071 -56.764767
    Unten links KachelX 58022 KachelY + 1 90761 -0.36019786 -0.99075837 -20.637817 -56.766273
    Unten rechts KachelX + 1 58023 KachelY + 1 90761 -0.36014993 -0.99075837 -20.635071 -56.766273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99073209--0.99075837) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dl = 167.429880000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99073209--0.99075837) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dr = 167.429880000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36019786--0.36014993) × cos(-0.99073209) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.548077667340844 × 6371000     		do = 167.362109096774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36019786--0.36014993) × cos(-0.99075837) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.548055685838333 × 6371000     		du = 167.355396780544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99073209)-sin(-0.99075837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548077667340844-0.548055685838333)×R²
    abs(-0.36014993--0.36019786)×2.19815025108705e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19815025108705e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19815025108705e-05×40589641000000     		ar = 28020.8559231673m²