Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58019 / 87604
↖ ↑ ↗
← S 51.706608°
W 20.646057°		 ← 189.23 m → S 51.706608°
W 20.643311°		 →
↑
189.28 m
↓
↑
189.28 m
↓
S 51.708311°
W 20.646057°		 ← 189.22 m →
35 817 m²		 S 51.708311°
W 20.643311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442653656005859 y=0.668369293212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442653656005859 × 217)
    floor (0.442653656005859 × 131072)
    floor (58019.5)     		tx = 58019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668369293212891 × 217)
    floor (0.668369293212891 × 131072)
    floor (87604.5)     		ty = 87604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58019 / 87604 ti = "17/58019/87604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58019/87604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58019 ÷ 217
    58019 ÷ 131072     		x = 0.442649841308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87604 ÷ 217
    87604 ÷ 131072     		y = 0.668365478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442649841308594 × 2 - 1) × π
    -0.114700317382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.36034167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668365478515625 × 2 - 1) × π
    -0.33673095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0578715008154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36034167} λ = -0.36034167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0578715008154))-π/2
    2×atan(0.34719402660751)-π/2
    2×0.334172882044179-π/2
    0.668345764088357-1.57079632675     		φ = -0.90245056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36034167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.646057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90245056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.706608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58019 KachelY 87604 -0.36034167 -0.90245056 -20.646057 -51.706608
    Oben rechts KachelX + 1 58020 KachelY 87604 -0.36029374 -0.90245056 -20.643311 -51.706608
    Unten links KachelX 58019 KachelY + 1 87605 -0.36034167 -0.90248027 -20.646057 -51.708311
    Unten rechts KachelX + 1 58020 KachelY + 1 87605 -0.36029374 -0.90248027 -20.643311 -51.708311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90245056--0.90248027) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dl = 189.282409999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90245056--0.90248027) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dr = 189.282409999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36034167--0.36029374) × cos(-0.90245056) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.619688514141345 × 6371000     		do = 189.229342646001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36034167--0.36029374) × cos(-0.90248027) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.619665196038272 × 6371000     		du = 189.222222182711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90245056)-sin(-0.90248027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619688514141345-0.619665196038272)×R²
    abs(-0.36029374--0.36034167)×2.33181030727669e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33181030727669e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33181030727669e-05×40589641000000     		ar = 35817.1121322841m²