Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58017 / 88745
↖ ↑ ↗
← S 53.607173°
W 20.651550°		 ← 181.21 m → S 53.607173°
W 20.648804°		 →
↑
181.25 m
↓
↑
181.25 m
↓
S 53.608804°
W 20.651550°		 ← 181.21 m →
32 845 m²		 S 53.608804°
W 20.648804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442638397216797 y=0.677074432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442638397216797 × 217)
    floor (0.442638397216797 × 131072)
    floor (58017.5)     		tx = 58017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677074432373047 × 217)
    floor (0.677074432373047 × 131072)
    floor (88745.5)     		ty = 88745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58017 / 88745 ti = "17/58017/88745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58017/88745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58017 ÷ 217
    58017 ÷ 131072     		x = 0.442634582519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88745 ÷ 217
    88745 ÷ 131072     		y = 0.677070617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442634582519531 × 2 - 1) × π
    -0.114730834960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.36043755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677070617675781 × 2 - 1) × π
    -0.354141235351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.11256750328188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36043755} λ = -0.36043755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11256750328188))-π/2
    2×atan(0.328713902670392)-π/2
    2×0.31758732128992-π/2
    0.63517464257984-1.57079632675     		φ = -0.93562168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36043755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.651550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93562168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.607173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58017 KachelY 88745 -0.36043755 -0.93562168 -20.651550 -53.607173
    Oben rechts KachelX + 1 58018 KachelY 88745 -0.36038961 -0.93562168 -20.648804 -53.607173
    Unten links KachelX 58017 KachelY + 1 88746 -0.36043755 -0.93565013 -20.651550 -53.608804
    Unten rechts KachelX + 1 58018 KachelY + 1 88746 -0.36038961 -0.93565013 -20.648804 -53.608804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93562168--0.93565013) × R
    2.84499999999577e-05 × 6371000     		dl = 181.25494999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93562168--0.93565013) × R
    2.84499999999577e-05 × 6371000     		dr = 181.25494999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36043755--0.36038961) × cos(-0.93562168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593318108500146 × 6371000     		do = 181.214622343939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36043755--0.36038961) × cos(-0.93565013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593295206917939 × 6371000     		du = 181.207627611246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93562168)-sin(-0.93565013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593318108500146-0.593295206917939)×R²
    abs(-0.36038961--0.36043755)×2.29015822068579e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29015822068579e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29015822068579e-05×40589641000000     		ar = 32845.4133993073m²