Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58016 / 89781
↖ ↑ ↗
← S 55.261903°
W 20.654297°		 ← 174.04 m → S 55.261903°
W 20.651550°		 →
↑
174.06 m
↓
↑
174.06 m
↓
S 55.263468°
W 20.654297°		 ← 174.03 m →
30 292 m²		 S 55.263468°
W 20.651550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442630767822266 y=0.684978485107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442630767822266 × 217)
    floor (0.442630767822266 × 131072)
    floor (58016.5)     		tx = 58016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684978485107422 × 217)
    floor (0.684978485107422 × 131072)
    floor (89781.5)     		ty = 89781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58016 / 89781 ti = "17/58016/89781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58016/89781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58016 ÷ 217
    58016 ÷ 131072     		x = 0.442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89781 ÷ 217
    89781 ÷ 131072     		y = 0.684974670410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.11474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36048549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684974670410156 × 2 - 1) × π
    -0.369949340820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.16223013128826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36048549} λ = -0.36048549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16223013128826))-π/2
    2×atan(0.312787844522495)-π/2
    2×0.303147082460092-π/2
    0.606294164920184-1.57079632675     		φ = -0.96450216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36048549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.654297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96450216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.261903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58016 KachelY 89781 -0.36048549 -0.96450216 -20.654297 -55.261903
    Oben rechts KachelX + 1 58017 KachelY 89781 -0.36043755 -0.96450216 -20.651550 -55.261903
    Unten links KachelX 58016 KachelY + 1 89782 -0.36048549 -0.96452948 -20.654297 -55.263468
    Unten rechts KachelX + 1 58017 KachelY + 1 89782 -0.36043755 -0.96452948 -20.651550 -55.263468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96450216--0.96452948) × R
    2.73200000000529e-05 × 6371000     		dl = 174.055720000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96450216--0.96452948) × R
    2.73200000000529e-05 × 6371000     		dr = 174.055720000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36048549--0.36043755) × cos(-0.96450216) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569826054564705 × 6371000     		do = 174.039544386793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36048549--0.36043755) × cos(-0.96452948) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569803603723073 × 6371000     		du = 174.032687321874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96450216)-sin(-0.96452948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569826054564705-0.569803603723073)×R²
    abs(-0.36043755--0.36048549)×2.24508416322156e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24508416322156e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24508416322156e-05×40589641000000     		ar = 30291.9814528981m²