Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58015 / 88757
↖ ↑ ↗
← S 53.626725°
W 20.657043°		 ← 181.09 m → S 53.626725°
W 20.654297°		 →
↑
181.13 m
↓
↑
181.13 m
↓
S 53.628353°
W 20.657043°		 ← 181.09 m →
32 800 m²		 S 53.628353°
W 20.654297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442623138427734 y=0.677165985107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442623138427734 × 217)
    floor (0.442623138427734 × 131072)
    floor (58015.5)     		tx = 58015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677165985107422 × 217)
    floor (0.677165985107422 × 131072)
    floor (88757.5)     		ty = 88757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58015 / 88757 ti = "17/58015/88757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58015/88757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58015 ÷ 217
    58015 ÷ 131072     		x = 0.442619323730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88757 ÷ 217
    88757 ÷ 131072     		y = 0.677162170410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442619323730469 × 2 - 1) × π
    -0.114761352539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36053342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677162170410156 × 2 - 1) × π
    -0.354324340820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.11314274607732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36053342} λ = -0.36053342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11314274607732))-π/2
    2×atan(0.32852486674211)-π/2
    2×0.317416709814597-π/2
    0.634833419629195-1.57079632675     		φ = -0.93596291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36053342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.657043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93596291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.626725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58015 KachelY 88757 -0.36053342 -0.93596291 -20.657043 -53.626725
    Oben rechts KachelX + 1 58016 KachelY 88757 -0.36048549 -0.93596291 -20.654297 -53.626725
    Unten links KachelX 58015 KachelY + 1 88758 -0.36053342 -0.93599134 -20.657043 -53.628353
    Unten rechts KachelX + 1 58016 KachelY + 1 88758 -0.36048549 -0.93599134 -20.654297 -53.628353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93596291--0.93599134) × R
    2.84299999999682e-05 × 6371000     		dl = 181.127529999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93596291--0.93599134) × R
    2.84299999999682e-05 × 6371000     		dr = 181.127529999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36053342--0.36048549) × cos(-0.93596291) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.593043394702569 × 6371000     		do = 181.092934884369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36053342--0.36048549) × cos(-0.93599134) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.593020503465626 × 6371000     		du = 181.085944769787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93596291)-sin(-0.93599134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593043394702569-0.593020503465626)×R²
    abs(-0.36048549--0.36053342)×2.28912369434342e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.28912369434342e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.28912369434342e-05×40589641000000     		ar = 32800.2829471207m²