Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58014 / 89776
↖ ↑ ↗
← S 55.254077°
W 20.659790°		 ← 174.07 m → S 55.254077°
W 20.657043°		 →
↑
174.06 m
↓
↑
174.06 m
↓
S 55.255642°
W 20.659790°		 ← 174.07 m →
30 298 m²		 S 55.255642°
W 20.657043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442615509033203 y=0.684940338134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442615509033203 × 217)
    floor (0.442615509033203 × 131072)
    floor (58014.5)     		tx = 58014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684940338134766 × 217)
    floor (0.684940338134766 × 131072)
    floor (89776.5)     		ty = 89776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58014 / 89776 ti = "17/58014/89776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58014/89776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58014 ÷ 217
    58014 ÷ 131072     		x = 0.442611694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89776 ÷ 217
    89776 ÷ 131072     		y = 0.6849365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442611694335938 × 2 - 1) × π
    -0.114776611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36058136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6849365234375 × 2 - 1) × π
    -0.369873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16199044679016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36058136} λ = -0.36058136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16199044679016))-π/2
    2×atan(0.31286282390536)-π/2
    2×0.303215378421357-π/2
    0.606430756842715-1.57079632675     		φ = -0.96436557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36058136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.659790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96436557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.254077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58014 KachelY 89776 -0.36058136 -0.96436557 -20.659790 -55.254077
    Oben rechts KachelX + 1 58015 KachelY 89776 -0.36053342 -0.96436557 -20.657043 -55.254077
    Unten links KachelX 58014 KachelY + 1 89777 -0.36058136 -0.96439289 -20.659790 -55.255642
    Unten rechts KachelX + 1 58015 KachelY + 1 89777 -0.36053342 -0.96439289 -20.657043 -55.255642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96436557--0.96439289) × R
    2.73199999999418e-05 × 6371000     		dl = 174.055719999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96436557--0.96439289) × R
    2.73199999999418e-05 × 6371000     		dr = 174.055719999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36058136--0.36053342) × cos(-0.96436557) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569938294176034 × 6371000     		do = 174.07382525314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36058136--0.36053342) × cos(-0.96439289) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569915845460955 × 6371000     		du = 174.066968837725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96436557)-sin(-0.96439289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569938294176034-0.569915845460955)×R²
    abs(-0.36053342--0.36058136)×2.24487150797259e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24487150797259e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24487150797259e-05×40589641000000     		ar = 30297.9482903024m²