Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58013 / 88843
↖ ↑ ↗
← S 53.766573°
W 20.662537°		 ← 180.53 m → S 53.766573°
W 20.659790°		 →
↑
180.49 m
↓
↑
180.49 m
↓
S 53.768196°
W 20.662537°		 ← 180.52 m →
32 583 m²		 S 53.768196°
W 20.659790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442607879638672 y=0.677822113037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442607879638672 × 217)
    floor (0.442607879638672 × 131072)
    floor (58013.5)     		tx = 58013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677822113037109 × 217)
    floor (0.677822113037109 × 131072)
    floor (88843.5)     		ty = 88843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58013 / 88843 ti = "17/58013/88843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58013/88843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58013 ÷ 217
    58013 ÷ 131072     		x = 0.442604064941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88843 ÷ 217
    88843 ÷ 131072     		y = 0.677818298339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442604064941406 × 2 - 1) × π
    -0.114791870117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.36062930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677818298339844 × 2 - 1) × π
    -0.355636596679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.11726531944465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36062930} λ = -0.36062930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11726531944465))-π/2
    2×atan(0.327173286783989)-π/2
    2×0.316196305182886-π/2
    0.632392610365771-1.57079632675     		φ = -0.93840372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36062930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.662537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93840372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.766573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58013 KachelY 88843 -0.36062930 -0.93840372 -20.662537 -53.766573
    Oben rechts KachelX + 1 58014 KachelY 88843 -0.36058136 -0.93840372 -20.659790 -53.766573
    Unten links KachelX 58013 KachelY + 1 88844 -0.36062930 -0.93843205 -20.662537 -53.768196
    Unten rechts KachelX + 1 58014 KachelY + 1 88844 -0.36058136 -0.93843205 -20.659790 -53.768196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93840372--0.93843205) × R
    2.83299999999098e-05 × 6371000     		dl = 180.490429999425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93840372--0.93843205) × R
    2.83299999999098e-05 × 6371000     		dr = 180.490429999425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36062930--0.36058136) × cos(-0.93840372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591076361905981 × 6371000     		do = 180.529935231524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36062930--0.36058136) × cos(-0.93843205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591053510248696 × 6371000     		du = 180.522955747187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93840372)-sin(-0.93843205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591076361905981-0.591053510248696)×R²
    abs(-0.36058136--0.36062930)×2.28516572851056e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28516572851056e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28516572851056e-05×40589641000000     		ar = 32583.2957749542m²