Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58012 / 89524
↖ ↑ ↗
← S 54.857640°
W 20.665283°		 ← 175.77 m → S 54.857640°
W 20.662537°		 →
↑
175.78 m
↓
↑
175.78 m
↓
S 54.859220°
W 20.665283°		 ← 175.76 m →
30 895 m²		 S 54.859220°
W 20.662537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442600250244141 y=0.683017730712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442600250244141 × 217)
    floor (0.442600250244141 × 131072)
    floor (58012.5)     		tx = 58012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683017730712891 × 217)
    floor (0.683017730712891 × 131072)
    floor (89524.5)     		ty = 89524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58012 / 89524 ti = "17/58012/89524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58012/89524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58012 ÷ 217
    58012 ÷ 131072     		x = 0.442596435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89524 ÷ 217
    89524 ÷ 131072     		y = 0.683013916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442596435546875 × 2 - 1) × π
    -0.11480712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36067723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683013916015625 × 2 - 1) × π
    -0.36602783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14991034808591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36067723} λ = -0.36067723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14991034808591))-π/2
    2×atan(0.316665157744017)-π/2
    2×0.306674947999537-π/2
    0.613349895999075-1.57079632675     		φ = -0.95744643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36067723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.665283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95744643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.857640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58012 KachelY 89524 -0.36067723 -0.95744643 -20.665283 -54.857640
    Oben rechts KachelX + 1 58013 KachelY 89524 -0.36062930 -0.95744643 -20.662537 -54.857640
    Unten links KachelX 58012 KachelY + 1 89525 -0.36067723 -0.95747402 -20.665283 -54.859220
    Unten rechts KachelX + 1 58013 KachelY + 1 89525 -0.36062930 -0.95747402 -20.662537 -54.859220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95744643--0.95747402) × R
    2.75900000000773e-05 × 6371000     		dl = 175.775890000492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95744643--0.95747402) × R
    2.75900000000773e-05 × 6371000     		dr = 175.775890000492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36067723--0.36062930) × cos(-0.95744643) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.575609976931583 × 6371000     		do = 175.769431044189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36067723--0.36062930) × cos(-0.95747402) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.575587415696983 × 6371000     		du = 175.762541699792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95744643)-sin(-0.95747402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575609976931583-0.575587415696983)×R²
    abs(-0.36062930--0.36067723)×2.25612345996495e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25612345996495e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25612345996495e-05×40589641000000     		ar = 30895.4226883511m²