Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58008 / 88853
↖ ↑ ↗
← S 53.782804°
W 20.676270°		 ← 180.46 m → S 53.782804°
W 20.673523°		 →
↑
180.43 m
↓
↑
180.43 m
↓
S 53.784427°
W 20.676270°		 ← 180.45 m →
32 559 m²		 S 53.784427°
W 20.673523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442569732666016 y=0.677898406982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442569732666016 × 217)
    floor (0.442569732666016 × 131072)
    floor (58008.5)     		tx = 58008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677898406982422 × 217)
    floor (0.677898406982422 × 131072)
    floor (88853.5)     		ty = 88853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58008 / 88853 ti = "17/58008/88853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58008/88853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58008 ÷ 217
    58008 ÷ 131072     		x = 0.44256591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88853 ÷ 217
    88853 ÷ 131072     		y = 0.677894592285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44256591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1148681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36086898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677894592285156 × 2 - 1) × π
    -0.355789184570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.11774468844085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36086898} λ = -0.36086898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11774468844085))-π/2
    2×atan(0.327016487639246)-π/2
    2×0.316054660729296-π/2
    0.632109321458592-1.57079632675     		φ = -0.93868701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36086898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.676270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93868701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.782804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58008 KachelY 88853 -0.36086898 -0.93868701 -20.676270 -53.782804
    Oben rechts KachelX + 1 58009 KachelY 88853 -0.36082104 -0.93868701 -20.673523 -53.782804
    Unten links KachelX 58008 KachelY + 1 88854 -0.36086898 -0.93871533 -20.676270 -53.784427
    Unten rechts KachelX + 1 58009 KachelY + 1 88854 -0.36082104 -0.93871533 -20.673523 -53.784427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93868701--0.93871533) × R
    2.83199999999706e-05 × 6371000     		dl = 180.426719999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93868701--0.93871533) × R
    2.83199999999706e-05 × 6371000     		dr = 180.426719999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36086898--0.36082104) × cos(-0.93868701) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.590847832056376 × 6371000     		do = 180.460136333305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36086898--0.36082104) × cos(-0.93871533) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.590824983724352 × 6371000     		du = 180.453157864589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93868701)-sin(-0.93871533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590847832056376-0.590824983724352)×R²
    abs(-0.36082104--0.36086898)×2.28483320247053e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28483320247053e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28483320247053e-05×40589641000000     		ar = 32559.2009404265m²