Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58003 / 89451
↖ ↑ ↗
← S 54.742064°
W 20.690002°		 ← 176.27 m → S 54.742064°
W 20.687256°		 →
↑
176.29 m
↓
↑
176.29 m
↓
S 54.743650°
W 20.690002°		 ← 176.27 m →
31 074 m²		 S 54.743650°
W 20.687256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442531585693359 y=0.682460784912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442531585693359 × 217)
    floor (0.442531585693359 × 131072)
    floor (58003.5)     		tx = 58003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682460784912109 × 217)
    floor (0.682460784912109 × 131072)
    floor (89451.5)     		ty = 89451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58003 / 89451 ti = "17/58003/89451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58003/89451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58003 ÷ 217
    58003 ÷ 131072     		x = 0.442527770996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89451 ÷ 217
    89451 ÷ 131072     		y = 0.682456970214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442527770996094 × 2 - 1) × π
    -0.114944458007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.36110866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682456970214844 × 2 - 1) × π
    -0.364913940429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.14641095441364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36110866} λ = -0.36110866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14641095441364))-π/2
    2×atan(0.317775234959033)-π/2
    2×0.30768353263553-π/2
    0.61536706527106-1.57079632675     		φ = -0.95542926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36110866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.690002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95542926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.742064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58003 KachelY 89451 -0.36110866 -0.95542926 -20.690002 -54.742064
    Oben rechts KachelX + 1 58004 KachelY 89451 -0.36106073 -0.95542926 -20.687256 -54.742064
    Unten links KachelX 58003 KachelY + 1 89452 -0.36110866 -0.95545693 -20.690002 -54.743650
    Unten rechts KachelX + 1 58004 KachelY + 1 89452 -0.36106073 -0.95545693 -20.687256 -54.743650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95542926--0.95545693) × R
    2.76700000000352e-05 × 6371000     		dl = 176.285570000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95542926--0.95545693) × R
    2.76700000000352e-05 × 6371000     		dr = 176.285570000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36110866--0.36106073) × cos(-0.95542926) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577258293820847 × 6371000     		do = 176.272764435578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36110866--0.36106073) × cos(-0.95545693) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577235699340131 × 6371000     		du = 176.26586493908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95542926)-sin(-0.95545693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577258293820847-0.577235699340131)×R²
    abs(-0.36106073--0.36110866)×2.25944807166201e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25944807166201e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25944807166201e-05×40589641000000     		ar = 31073.7366152186m²