Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58002 / 89895
↖ ↑ ↗
← S 55.439921°
W 20.692749°		 ← 173.26 m → S 55.439921°
W 20.690002°		 →
↑
173.29 m
↓
↑
173.29 m
↓
S 55.441480°
W 20.692749°		 ← 173.25 m →
30 024 m²		 S 55.441480°
W 20.690002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442523956298828 y=0.685848236083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442523956298828 × 217)
    floor (0.442523956298828 × 131072)
    floor (58002.5)     		tx = 58002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685848236083984 × 217)
    floor (0.685848236083984 × 131072)
    floor (89895.5)     		ty = 89895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58002 / 89895 ti = "17/58002/89895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58002/89895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58002 ÷ 217
    58002 ÷ 131072     		x = 0.442520141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89895 ÷ 217
    89895 ÷ 131072     		y = 0.685844421386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442520141601562 × 2 - 1) × π
    -0.114959716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36115660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685844421386719 × 2 - 1) × π
    -0.371688842773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.16769493784495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36115660} λ = -0.36115660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16769493784495))-π/2
    2×atan(0.311083181528003)-π/2
    2×0.301593581226233-π/2
    0.603187162452465-1.57079632675     		φ = -0.96760916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36115660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.692749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96760916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.439921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58002 KachelY 89895 -0.36115660 -0.96760916 -20.692749 -55.439921
    Oben rechts KachelX + 1 58003 KachelY 89895 -0.36110866 -0.96760916 -20.690002 -55.439921
    Unten links KachelX 58002 KachelY + 1 89896 -0.36115660 -0.96763636 -20.692749 -55.441480
    Unten rechts KachelX + 1 58003 KachelY + 1 89896 -0.36110866 -0.96763636 -20.690002 -55.441480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96760916--0.96763636) × R
    2.7200000000005e-05 × 6371000     		dl = 173.291200000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96760916--0.96763636) × R
    2.7200000000005e-05 × 6371000     		dr = 173.291200000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36115660--0.36110866) × cos(-0.96760916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.567270083382323 × 6371000     		do = 173.258884996794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36115660--0.36110866) × cos(-0.96763636) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.567247683107078 × 6371000     		du = 173.252043376151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96760916)-sin(-0.96763636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567270083382323-0.567247683107078)×R²
    abs(-0.36110866--0.36115660)×2.24002752458041e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24002752458041e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24002752458041e-05×40589641000000     		ar = 30023.6472973607m²