Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58002 / 89812
↖ ↑ ↗
← S 55.310391°
W 20.692749°		 ← 173.83 m → S 55.310391°
W 20.690002°		 →
↑
173.80 m
↓
↑
173.80 m
↓
S 55.311954°
W 20.692749°		 ← 173.82 m →
30 211 m²		 S 55.311954°
W 20.690002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442523956298828 y=0.685214996337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442523956298828 × 217)
    floor (0.442523956298828 × 131072)
    floor (58002.5)     		tx = 58002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685214996337891 × 217)
    floor (0.685214996337891 × 131072)
    floor (89812.5)     		ty = 89812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58002 / 89812 ti = "17/58002/89812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58002/89812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58002 ÷ 217
    58002 ÷ 131072     		x = 0.442520141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89812 ÷ 217
    89812 ÷ 131072     		y = 0.685211181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442520141601562 × 2 - 1) × π
    -0.114959716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36115660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685211181640625 × 2 - 1) × π
    -0.37042236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16371617517648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36115660} λ = -0.36115660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16371617517648))-π/2
    2×atan(0.312323373255651)-π/2
    2×0.302723947663245-π/2
    0.605447895326491-1.57079632675     		φ = -0.96534843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36115660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.692749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96534843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.310391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58002 KachelY 89812 -0.36115660 -0.96534843 -20.692749 -55.310391
    Oben rechts KachelX + 1 58003 KachelY 89812 -0.36110866 -0.96534843 -20.690002 -55.310391
    Unten links KachelX 58002 KachelY + 1 89813 -0.36115660 -0.96537571 -20.692749 -55.311954
    Unten rechts KachelX + 1 58003 KachelY + 1 89813 -0.36110866 -0.96537571 -20.690002 -55.311954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96534843--0.96537571) × R
    2.72799999999629e-05 × 6371000     		dl = 173.800879999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96534843--0.96537571) × R
    2.72799999999629e-05 × 6371000     		dr = 173.800879999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36115660--0.36110866) × cos(-0.96534843) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569130415249791 × 6371000     		do = 173.827078234061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36115660--0.36110866) × cos(-0.96537571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569107984132538 × 6371000     		du = 173.820227193475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96534843)-sin(-0.96537571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569130415249791-0.569107984132538)×R²
    abs(-0.36110866--0.36115660)×2.24311172528635e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24311172528635e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24311172528635e-05×40589641000000     		ar = 30210.7038083404m²