Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58002 / 88662
↖ ↑ ↗
← S 53.471700°
W 20.692749°		 ← 181.80 m → S 53.471700°
W 20.690002°		 →
↑
181.76 m
↓
↑
181.76 m
↓
S 53.473335°
W 20.692749°		 ← 181.79 m →
33 043 m²		 S 53.473335°
W 20.690002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442523956298828 y=0.676441192626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442523956298828 × 217)
    floor (0.442523956298828 × 131072)
    floor (58002.5)     		tx = 58002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676441192626953 × 217)
    floor (0.676441192626953 × 131072)
    floor (88662.5)     		ty = 88662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58002 / 88662 ti = "17/58002/88662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58002/88662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58002 ÷ 217
    58002 ÷ 131072     		x = 0.442520141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88662 ÷ 217
    88662 ÷ 131072     		y = 0.676437377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442520141601562 × 2 - 1) × π
    -0.114959716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36115660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676437377929688 × 2 - 1) × π
    -0.352874755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.10858874061342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36115660} λ = -0.36115660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10858874061342))-π/2
    2×atan(0.330024382590433)-π/2
    2×0.318769548348779-π/2
    0.637539096697558-1.57079632675     		φ = -0.93325723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36115660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.692749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93325723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.471700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58002 KachelY 88662 -0.36115660 -0.93325723 -20.692749 -53.471700
    Oben rechts KachelX + 1 58003 KachelY 88662 -0.36110866 -0.93325723 -20.690002 -53.471700
    Unten links KachelX 58002 KachelY + 1 88663 -0.36115660 -0.93328576 -20.692749 -53.473335
    Unten rechts KachelX + 1 58003 KachelY + 1 88663 -0.36110866 -0.93328576 -20.690002 -53.473335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93325723--0.93328576) × R
    2.85299999999156e-05 × 6371000     		dl = 181.764629999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93325723--0.93328576) × R
    2.85299999999156e-05 × 6371000     		dr = 181.764629999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36115660--0.36110866) × cos(-0.93325723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595219755013135 × 6371000     		do = 181.795434137386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36115660--0.36110866) × cos(-0.93328576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595196829119424 × 6371000     		du = 181.788431979334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93325723)-sin(-0.93328576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595219755013135-0.595196829119424)×R²
    abs(-0.36110866--0.36115660)×2.29258937114452e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29258937114452e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29258937114452e-05×40589641000000     		ar = 33043.3434515152m²