Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57999 / 88671
↖ ↑ ↗
← S 53.486411°
W 20.700989°		 ← 181.69 m → S 53.486411°
W 20.698242°		 →
↑
181.70 m
↓
↑
181.70 m
↓
S 53.488045°
W 20.700989°		 ← 181.69 m →
33 013 m²		 S 53.488045°
W 20.698242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442501068115234 y=0.676509857177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442501068115234 × 217)
    floor (0.442501068115234 × 131072)
    floor (57999.5)     		tx = 57999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676509857177734 × 217)
    floor (0.676509857177734 × 131072)
    floor (88671.5)     		ty = 88671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57999 / 88671 ti = "17/57999/88671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57999/88671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57999 ÷ 217
    57999 ÷ 131072     		x = 0.442497253417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88671 ÷ 217
    88671 ÷ 131072     		y = 0.676506042480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442497253417969 × 2 - 1) × π
    -0.115005493164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36130041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676506042480469 × 2 - 1) × π
    -0.353012084960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.10902017271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36130041} λ = -0.36130041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10902017271))-π/2
    2×atan(0.329882030189035)-π/2
    2×0.31864117215099-π/2
    0.637282344301981-1.57079632675     		φ = -0.93351398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36130041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.700989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93351398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.486411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57999 KachelY 88671 -0.36130041 -0.93351398 -20.700989 -53.486411
    Oben rechts KachelX + 1 58000 KachelY 88671 -0.36125248 -0.93351398 -20.698242 -53.486411
    Unten links KachelX 57999 KachelY + 1 88672 -0.36130041 -0.93354250 -20.700989 -53.488045
    Unten rechts KachelX + 1 58000 KachelY + 1 88672 -0.36125248 -0.93354250 -20.698242 -53.488045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93351398--0.93354250) × R
    2.85200000000874e-05 × 6371000     		dl = 181.700920000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93351398--0.93354250) × R
    2.85200000000874e-05 × 6371000     		dr = 181.700920000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36130041--0.36125248) × cos(-0.93351398) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595013420604805 × 6371000     		do = 181.694505993238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36130041--0.36125248) × cos(-0.93354250) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59499049838923 × 6371000     		du = 181.687506418958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93351398)-sin(-0.93354250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595013420604805-0.59499049838923)×R²
    abs(-0.36125248--0.36130041)×2.29222155753162e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29222155753162e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29222155753162e-05×40589641000000     		ar = 33013.4229856577m²