Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57997 / 89076
↖ ↑ ↗
← S 54.143133°
W 20.706482°		 ← 178.91 m → S 54.143133°
W 20.703735°		 →
↑
178.90 m
↓
↑
178.90 m
↓
S 54.144741°
W 20.706482°		 ← 178.90 m →
32 005 m²		 S 54.144741°
W 20.703735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442485809326172 y=0.679599761962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442485809326172 × 217)
    floor (0.442485809326172 × 131072)
    floor (57997.5)     		tx = 57997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679599761962891 × 217)
    floor (0.679599761962891 × 131072)
    floor (89076.5)     		ty = 89076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57997 / 89076 ti = "17/57997/89076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57997/89076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57997 ÷ 217
    57997 ÷ 131072     		x = 0.442481994628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89076 ÷ 217
    89076 ÷ 131072     		y = 0.679595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442481994628906 × 2 - 1) × π
    -0.115036010742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.36139629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.35919189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12843461705612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36139629} λ = -0.36139629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12843461705612))-π/2
    2×atan(0.323539323162944)-π/2
    2×0.312910200114609-π/2
    0.625820400229217-1.57079632675     		φ = -0.94497593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36139629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.706482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94497593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.143133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57997 KachelY 89076 -0.36139629 -0.94497593 -20.706482 -54.143133
    Oben rechts KachelX + 1 57998 KachelY 89076 -0.36134835 -0.94497593 -20.703735 -54.143133
    Unten links KachelX 57997 KachelY + 1 89077 -0.36139629 -0.94500401 -20.706482 -54.144741
    Unten rechts KachelX + 1 57998 KachelY + 1 89077 -0.36134835 -0.94500401 -20.703735 -54.144741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94497593--0.94500401) × R
    2.80799999999859e-05 × 6371000     		dl = 178.89767999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94497593--0.94500401) × R
    2.80799999999859e-05 × 6371000     		dr = 178.89767999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36139629--0.36134835) × cos(-0.94497593) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58576238750974 × 6371000     		do = 178.906910669419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36139629--0.36134835) × cos(-0.94500401) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.585739628920811 × 6371000     		du = 178.899959610554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94497593)-sin(-0.94500401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58576238750974-0.585739628920811)×R²
    abs(-0.36134835--0.36139629)×2.27585889288617e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27585889288617e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27585889288617e-05×40589641000000     		ar = 32005.4094925044m²