Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57990 / 89842
↖ ↑ ↗
← S 55.357258°
W 20.725708°		 ← 173.59 m → S 55.357258°
W 20.722962°		 →
↑
173.61 m
↓
↑
173.61 m
↓
S 55.358819°
W 20.725708°		 ← 173.58 m →
30 136 m²		 S 55.358819°
W 20.722962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442432403564453 y=0.685443878173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442432403564453 × 217)
    floor (0.442432403564453 × 131072)
    floor (57990.5)     		tx = 57990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685443878173828 × 217)
    floor (0.685443878173828 × 131072)
    floor (89842.5)     		ty = 89842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57990 / 89842 ti = "17/57990/89842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57990/89842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57990 ÷ 217
    57990 ÷ 131072     		x = 0.442428588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89842 ÷ 217
    89842 ÷ 131072     		y = 0.685440063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442428588867188 × 2 - 1) × π
    -0.115142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36173184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685440063476562 × 2 - 1) × π
    -0.370880126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16515428216508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36173184} λ = -0.36173184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16515428216508))-π/2
    2×atan(0.311874541641164)-π/2
    2×0.302314954356731-π/2
    0.604629908713462-1.57079632675     		φ = -0.96616642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36173184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.725708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96616642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.357258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57990 KachelY 89842 -0.36173184 -0.96616642 -20.725708 -55.357258
    Oben rechts KachelX + 1 57991 KachelY 89842 -0.36168391 -0.96616642 -20.722962 -55.357258
    Unten links KachelX 57990 KachelY + 1 89843 -0.36173184 -0.96619367 -20.725708 -55.358819
    Unten rechts KachelX + 1 57991 KachelY + 1 89843 -0.36168391 -0.96619367 -20.722962 -55.358819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96616642--0.96619367) × R
    2.72500000000342e-05 × 6371000     		dl = 173.609750000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96616642--0.96619367) × R
    2.72500000000342e-05 × 6371000     		dr = 173.609750000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36173184--0.36168391) × cos(-0.96616642) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.568457634876952 × 6371000     		do = 173.585377355131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36173184--0.36168391) × cos(-0.96619367) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.568435215749283 × 6371000     		du = 173.578531404795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96616642)-sin(-0.96619367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568457634876952-0.568435215749283)×R²
    abs(-0.36168391--0.36173184)×2.24191276684271e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.24191276684271e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.24191276684271e-05×40589641000000     		ar = 30135.519706252m²