Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57989 / 90500
↖ ↑ ↗
← S 56.371335°
W 20.728455°		 ← 169.15 m → S 56.371335°
W 20.725708°		 →
↑
169.15 m
↓
↑
169.15 m
↓
S 56.372856°
W 20.728455°		 ← 169.14 m →
28 611 m²		 S 56.372856°
W 20.725708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442424774169922 y=0.690464019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442424774169922 × 217)
    floor (0.442424774169922 × 131072)
    floor (57989.5)     		tx = 57989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690464019775391 × 217)
    floor (0.690464019775391 × 131072)
    floor (90500.5)     		ty = 90500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57989 / 90500 ti = "17/57989/90500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57989/90500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57989 ÷ 217
    57989 ÷ 131072     		x = 0.442420959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90500 ÷ 217
    90500 ÷ 131072     		y = 0.690460205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442420959472656 × 2 - 1) × π
    -0.115158081054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.36177978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.38092041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19669676211508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36177978} λ = -0.36177978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19669676211508))-π/2
    2×atan(0.302190773076851)-π/2
    2×0.293465464173824-π/2
    0.586930928347647-1.57079632675     		φ = -0.98386540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36177978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.728455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98386540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.371335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57989 KachelY 90500 -0.36177978 -0.98386540 -20.728455 -56.371335
    Oben rechts KachelX + 1 57990 KachelY 90500 -0.36173184 -0.98386540 -20.725708 -56.371335
    Unten links KachelX 57989 KachelY + 1 90501 -0.36177978 -0.98389195 -20.728455 -56.372856
    Unten rechts KachelX + 1 57990 KachelY + 1 90501 -0.36173184 -0.98389195 -20.725708 -56.372856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98386540--0.98389195) × R
    2.65499999999586e-05 × 6371000     		dl = 169.150049999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98386540--0.98389195) × R
    2.65499999999586e-05 × 6371000     		dr = 169.150049999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36177978--0.36173184) × cos(-0.98386540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.553808188904339 × 6371000     		do = 169.147275914057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36177978--0.36173184) × cos(-0.98389195) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.55378608200363 × 6371000     		du = 169.140523897549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98386540)-sin(-0.98389195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553808188904339-0.55378608200363)×R²
    abs(-0.36173184--0.36177978)×2.21069007082519e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21069007082519e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21069007082519e-05×40589641000000     		ar = 28610.6991279107m²