Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57988 / 93828
↖ ↑ ↗
← S 61.106098°
W 20.731201°		 ← 147.58 m → S 61.106098°
W 20.728455°		 →
↑
147.55 m
↓
↑
147.55 m
↓
S 61.107425°
W 20.731201°		 ← 147.57 m →
21 775 m²		 S 61.107425°
W 20.728455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442417144775391 y=0.715854644775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442417144775391 × 217)
    floor (0.442417144775391 × 131072)
    floor (57988.5)     		tx = 57988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715854644775391 × 217)
    floor (0.715854644775391 × 131072)
    floor (93828.5)     		ty = 93828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57988 / 93828 ti = "17/57988/93828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57988/93828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57988 ÷ 217
    57988 ÷ 131072     		x = 0.442413330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93828 ÷ 217
    93828 ÷ 131072     		y = 0.715850830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442413330078125 × 2 - 1) × π
    -0.11517333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36182772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.715850830078125 × 2 - 1) × π
    -0.43170166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.35623076405063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36182772} λ = -0.36182772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35623076405063))-π/2
    2×atan(0.257630017481452)-π/2
    2×0.252146863994499-π/2
    0.504293727988999-1.57079632675     		φ = -1.06650260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36182772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.731201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06650260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.106098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57988 KachelY 93828 -0.36182772 -1.06650260 -20.731201 -61.106098
    Oben rechts KachelX + 1 57989 KachelY 93828 -0.36177978 -1.06650260 -20.728455 -61.106098
    Unten links KachelX 57988 KachelY + 1 93829 -0.36182772 -1.06652576 -20.731201 -61.107425
    Unten rechts KachelX + 1 57989 KachelY + 1 93829 -0.36177978 -1.06652576 -20.728455 -61.107425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06650260--1.06652576) × R
    2.31600000000221e-05 × 6371000     		dl = 147.55236000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06650260--1.06652576) × R
    2.31600000000221e-05 × 6371000     		dr = 147.55236000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36182772--0.36177978) × cos(-1.06650260) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.483189207427417 × 6371000     		do = 147.578421238606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36182772--0.36177978) × cos(-1.06652576) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.483168930348282 × 6371000     		du = 147.572228096706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06650260)-sin(-1.06652576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.483189207427417-0.483168930348282)×R²
    abs(-0.36177978--0.36182772)×2.02770791351559e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02770791351559e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02770791351559e-05×40589641000000     		ar = 21775.0874334917m²